Question

【題目】已知函數f（x）=3x2﹣2ax﹣b，其中a，b是實數．
（1）若不等式f（x）≤0的解集是[0，6]，求ab的值；
（2）若b=3a，對任意x∈R，都有f（x）≥0，且存在實數x，使得f（x）≤2﹣ a，求實數a的取值范圍；
（3）若方程有一個根是1，且a，b＞0，求 的最小值，及此時a，b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，0+6= ，0×6= ，解得a=9，b=0，∴ab=1
（2）解：若b=3a，則f（x）=3x2﹣2ax﹣3a．

依題意， ，由①得，﹣9≤a≤0，

由②得，a≥0或a≤﹣6，

所以，﹣9≤a≤﹣6或a=0為所求

（3）解：∵方程有一個根是1，且a、b＞0，∴3﹣2a﹣b=0，即2a+b=3，

∵2a+b=3可得（2a+1）（b+2）=6，

設u=2a+1，v=b+2，可得u，v＞0，u+v=6，

= = ≥ ，

當且僅當u=v=3，即a=b=1時取等號

【解析】（1）利用不等式的解集，轉化為方程的根，求解即可．（2）利用二次函數的性質，列出不等式組求解即可．（3）利用基本不等式轉化求解函數的最值的即可．
【考點精析】掌握函數的最值及其幾何意義是解答本題的根本，需要知道利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（�。┲�；利用函數單調性的判斷函數的最大（�。┲担�