Question

【題目】已知M為△ABC的中線AD的中點，過點M的直線分別交兩邊AB、AC于點P、Q，設
=x ， ，記y=f（x）．

（1）求函數y=f（x）的表達式；
（2）設g（x）=x3+3a2x+2a，x∈[0，1]．若對任意x1∈[ ，1]，總存在x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵過點M的直線分別交兩邊AB、AC于P、Q，

∴0＜x≤1，0＜y≤1

又∵ =x ， =y ，

∴ = = （ + ）= +

又∵P、M、Q三點共線，

∴ + =1，

∴y=f（x）=

由 得 ，

∴ ≤x≤1，

∴y=f（x）= ，x∈[ ，1]

（2）解：∵f（x）= = + 在[ ，1]內是減函數，

∴[f（x）]min=f（1）= ，[f（x）]max=f（ ）=1，

即函數f（x）的值域為[ ，1]

∵g'（x）=3x2+3a2≥0，

∴g（x）在[0，1]內是增函數，

∴[g（x）]min=g（0）=2a，[g（x）]max=g（1）=3a2+2a+1，

∴g（x）的值域為[2a，3a2+2a+1]

由題設得[ ，1][2a，3a2+2a+1]，

則

解得a的取值范圍是（﹣∞，﹣ ]∪[0， ]

【解析】（1）表示出向量AM，根據P、M、Q三點共線，得到關于x，y的等式，解出y即f（x）的解析式；（2）分別根據f（x），g（x）的單調性，求出f（x），g（x）的值域，結合集合的包含關系得到關于a的不等式組，解出即可．
【考點精析】掌握平面向量的基本定理及其意義是解答本題的根本，需要知道如果、是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量，有且只有一對實數、，使．