Question

【題目】已知函數（是自然對數底數），方程有四個實數根，則的取值范圍為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】分析：函數，通過求導分析得到函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，在（-∞，-1）上為增函數，在（-1，0）上為減函數，求得函數f（x）在（-∞，0）上，當x=-1時有一個最大值 ，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數根，f（x）的值一個要在（0，）內，一個在（ ，+∞）內，然后運用二次函數的圖象及二次方程根的關系列式求解t的取值范圍．

詳解：

函數，

當x≥0時，f′（x）=ex+xex≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上為增函數；
當x＜0時，f′（x）=-ex-xex=-ex（x+1），
由f′（x）=0，得x=-1，當x∈（-∞，-1）時，f′（x）=-ex（x+1）＞0，f（x）為增函數，
當x∈（-1，0）時，f′（x）=-ex（x+1）＜0，f（x）為減函數，

所以函數f（x）在（-∞，0）上有一個最大值為f（-1）= -（-1）e-1=，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數根，
令f（x）=m，則方程m2+tm+1=0應有兩個不等根，且一個根在（0，）內，

一個根在（ ，+∞）內，再令g（m）=m2+tm+1，因為g（0）=1＞0，
則只需g（ ）＜0，即（）2+t+1＜0，解得：t＜．
所以，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數根的t的取值范圍是（-∞，）．

選B.