Question

如圖，從陰極K發射的熱電子，重力和初速均不計，通過加速電場后，沿圖示虛線垂直射入勻強磁場區，磁場區域足夠長，寬度為L=2.5cm．已知加速電壓為U=182V，磁感應強度B=9.1×10^-4T，電子的電量e=1.6×10^-19C，電子質量m=9.1×10^-31kg．求：
（1）電子在磁場中的運動半徑R
（2）電子在磁場中運動的時間t（結果保留π）
（3）若加速電壓大小可以改變，其他條件不變，為使電子在磁場中的運動時間最長，加速電壓U應滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）應用動能定理電子解出穿出電場時的速度．電子進入磁場后發生偏轉，做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律求解在磁場中的運動半徑R．
（2）先根據圓周運動的知識求得電子在磁場中運動的周期T．畫出軌跡，由幾何知識求出電子在磁場中運動軌跡所對應的圓心角θ，由t=

θ

2π

T求解在磁場中運動的時間t．
（3）為使電子在磁場中的運動時間最長，電子軌跡對應的圓心角必須最大，最大圓心角為180°，軌跡恰好與磁場右邊界相切，求得軌跡半徑，根據上題的結果即可求解．

解答：解：（1）加速電場中由動能定理得；
 eU=

1

2

mv²-0
解得：v=

2eU m

=

2×1.6×10-19×182 9.1×10-31

=8×10⁶m/s
磁場中做圓周運動，由牛頓第二定律得：
 evB=

mv2

R

解得：R=

mv

eB

=

9.1×10-31×8×106

1.6×10-19×9.1×10-4

m=0.05m
（2）磁場中運動的周期 T=

2πR

v

=

2π×0.05

8×106

s=

π

8

×10^-7s
由幾何關系 sinθ=

L

R

=

1

2

則 θ=30°
故電子在磁場中運動的時間為：t=

30°

360°

T=

T

12

=

π

96

×10^-7s
（3）電子在磁場中的運動時間最長時，圓心角 θ=180°
當運動軌跡恰與磁場右界相切時，R=L=2.5cm=0.025m
依題意有R≤0.025m
由 R=

mv

eB

和v=

2eU m

得：U=

eB2R2

2m

代入解得：U≤45.5V
（1）電子在磁場中的運動半徑R是0.05m．
（2）電子在磁場中運動的時間t是

π

96

×10^-7s．
（3）為使電子在磁場中的運動時間最長，加速電壓U應滿足的條件是：U≤45.5V．

點評：電子在勻強電場中運動的問題也可以用牛頓第二定律結合運動學公式求解．
電子在勻強磁場中的運動問題，我們要從定圓心，找半徑，畫軌跡這些步驟入手，根據題意找出可能出現的情況去研究．其中圓周半徑R是橋梁，一方面聯系了m、v、B、q物理量，另一方面聯系了圖中的幾何關系．