1．復數是虛數單位的實部是

A．           B．         C．           D．

2.已知等差數列的公差為，且，若，則為

A．           B.           C．          D.

3.已知直線⊥平面，直線平面，下面有三個命題：

①∥⊥；②⊥∥；③∥⊥； 則真命題的個數為

A．            B．          C．        　D．

4．如右圖，一個簡單空間幾何體的三視圖其主視圖與左視圖

都是邊長為的正三角形,其俯視圖輪廓為正方形，則其體積是

A．      B.    C．        D.

5．設點，則為坐標原點的最小值是

A．       B.         C．         D.  

6．學校為了調查學生在課外讀物方面的支出情況，抽出了一個容量為的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在元的同學有人，則的值為

A．　          B.

C．　　　　　　 D.

7.已知的二項展開式的各項系數和為，則二項展開式中的系數為

A．　    B.           C．        D.

8．若右面的程序框圖輸出的是，則①應為

A．？　       B.？         

C．？         D.？

9.已知，則“”是“恒成立”的

A．充分不必要條件   B．必要不充分條件   

C．充要條件         D．既不充分也不必要條件

10.設函數，則下列結論正確的是

 A．的圖像關于直線對稱        

B．的圖像關于點對稱

 C．把的圖像向左平移個單位，得到一個偶函數的圖像

D．的最小正周期為，且在上為增函數

11．已知點、分別為雙曲線：的左焦點、右頂點，點滿足，則雙曲線的離心率為

A．             B.          C．        　D.

12.已知直線及與函數圖像的交點分別為，與函數圖像的交點分別為，則直線與

A.相交，且交點在第I象限       B.相交，且交點在第II象限 

C.相交，且交點在第IV象限      D.相交，且交點在坐標原點

第Ⅱ卷（非選擇題  共90分）

13．         ；

14．已知，則的值為         ；          

15．已知集合,從集合中任選三個不同的元素組成集合，則能夠滿足的集合的概率為=           ；

16．定義：區間的長度為.已知函數的定義域為，值域為，則區間的長度的最大值與最小值的差為_________.

17. （本小題滿分12分）

在中，分別是的對邊長，已知.

(Ⅰ)若,求實數的值;

(Ⅱ)若,求面積的最大值.

18．（本小題滿分12分）

在一個盒子中，放有標號分別為，，的三張卡片，現從這個盒子中，有放回地先后抽

得兩張卡片的標號分別為、，設為坐標原點，點的坐標為，記．

(Ⅰ)求隨機變量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；

(Ⅱ)求隨機變量的分布列和數學期望．

19．（本小題滿分12分）

已知函數且,求函數的極大值與極小值.

20．（本小題滿分12分）

在四棱錐中，平面，底面為矩形，.

(Ⅰ)當時，求證：；

(Ⅱ) 若邊上有且只有一個點，使得，

求此時二面角的余弦值.

21．（本小題滿分12分）

已知均在橢圓上，直線、分別過橢圓的左右焦點、，當時，有.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設是橢圓上的任一點，為圓的任一條直徑，求的最大值.

22．（本小題滿分14分）

已知等比數列的前項和為

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）設數列滿足，為數列 的前項和，試比較 與 的大小，并證明你的結論．

青島市2009年高三教學統一質量檢測 

     數學（理）答案及評分標準  2009.3

17. 解:(Ⅰ) 由兩邊平方得:

即

解得: …………………………3分

而可以變形為

即 ，所以…………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,則…………………………7分

又…………………………8分

所以即…………………………10分

故………………………………12分

18．解:(Ⅰ)、可能的取值為、、，，，

，且當或時，． 因此，隨機變量的最大值為…………………………4分

 有放回抽兩張卡片的所有情況有種，…………………6分       

(Ⅱ)的所有取值為．

時，只有這一種情況．

 時，有或或或四種情況，

時，有或兩種情況．

，，…………………………8分   

則隨機變量的分布列為：

………………10分

因此，數學期望…………………………12分

19．解：由題設知

令……………………………2分

當時，隨的變化，與的變化如下：

0

+

0

-

0

+

極大

極小

，………6分

當時，隨的變化，與的變化如下：

-

0

+

0

-

極小

極大

，…………11分

總之，當時，，；

當時，，……12分

20. 解：(Ⅰ)當時，底面為正方形，

又因為,面…………………………2分

又面

…………………………3分

(Ⅱ) 因為兩兩垂直，分別以它們所在直線

為軸、軸、軸建立坐標系，如圖所示，

則…………………4分

設，則

要使，只要

所以，即………6分

由此可知時，存在點使得

當且僅當，即時，

邊上有且只有一個點，使得

由此可知…………………………8分

設面的法向量

則即解得…………………………10分

取平面的法向量

則的大小與二面角的大小相等

所以

因此二面角的余弦值為…………………………12分

21. 解:(Ⅰ)因為，所以有

所以為直角三角形；…………………………2分

則有

所以，…………………………3分

又，………………………4分

在中有

即，解得

所求橢圓方程為…………………………6分

 (Ⅱ)

從而將求的最大值轉化為求的最大值…………………………8分

是橢圓上的任一點，設，則有即

又，所以………………………10分

而,所以當時，取最大值

故的最大值為…………………………12分

22．解：（Ⅰ）由得:時，

………………………2分

是等比數列，，得 ……4分

（Ⅱ）由和得……………………6分

……10分

………………………11分

當或時有，所以當時有

那么同理可得：當時有，所以當時有………………………13分

綜上：當時有；當時有………………………14分