東北三省四市長春、哈爾濱、沈陽、大連第一次聯合考試
數 學(理科)
本試卷分為第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共4頁，試卷滿分150分，
做題時間為120分鐘．考試結束后，將試卷和答題卡一并交回．
注意事項：
1．答題前，考生必須將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形
碼區域內．
2．選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，
字體工整、筆跡清楚．
3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草
稿紙、試題卷上答題無效．
4．保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、不準使用涂改液、刮紙刀．
第I卷(選擇題，共60分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分。共60分，在每小題的四個選項中。只有一項是符合題目要求的。請將正確選項填涂在答題卡上)
1．復數
，則
A．1 B．
D．5
2．已知集合
，
，則
A．
B．(1，3) C．(1，
) D．(3，)
3．已知
、
為兩條直線，、
為兩個平面，下列四個命題①∥，∥
∥；②
∥； ③∥，∥
∥；④
∥，其中不正確的有
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
4．在
中，、分別是角
、
所對的邊，條件“<”是使“
>
”成立的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．已知數列
滿足
，則
A．1024 B．
6．過點P(2，3)向圓上
作兩條切線PA、PB，則弦AB所在直線方程為
A．
B．
C．
D．
7．將函數
的圖象經過下列哪種變換可以得到函數
的圖象
A．先向左平移
個單位，然后再沿
軸將橫坐標壓縮到原來的
倍(縱坐標不變)
B．先向左平移個單位，然后再沿軸將橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)
C．先向左平移
個單位，然后再沿軸將橫坐標壓縮到原來的倍(縱坐標不變)
D．先向左平移個單位，然后再沿軸將橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)
8．已知實數、
滿足
，則
的最大值為
A．1 B．
9．四張卡片上分別標有數字“
片可組成不同的四位數的個數為
A．6 B．
10．函數
在
處連續,則=
A．0 B．
11．已知
是
上的可導函數，對于任意的正實數
，都有函數
在其定義域內為減函數，則函數的圖象可能為下圖中
12．定長為
的線段
的兩端點都在雙曲線
的右支上，則中點
的橫坐標的最小值為
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分。共20分．把正確答案填在答題卡中的橫線上)
13．正四面體的外接球與內切球的半徑之比為 .
14．已知=(3，2)，=(一1，2)，
上，則實數
.
15．
,則
.
16．已知
，且
，則關于三個數：
；
；
的大小關系說法：①最大；②最小；③最�。虎�與大小不能確定，其中正確的有
(將你認為正確說法前面的序號填上)．
三、解答題(本大題共6小題。共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分10分)
已知函數
．
(1)求函數
的最小正周期；
(2)求函數的值域．
18．(本小題滿分12分)
某次搖獎活動，搖獎機內有大小相同，顏色分別為紅、黃、藍、黑的4種玻璃球各4個，每次按下搖獎機開關，可隨機搖出10個球，按同色球的數目由多到少順序產生一個四位號碼，例如：由3個紅球，1個黃球，2個藍球，4個黑球產生的號碼為4321；若是2個紅球，3個黃球，3個藍球，2個黑球，則號碼為3322，兌獎規則如下：一等獎號碼為4420，可獲獎金88元；二等獎號碼為4411，可獲獎金8元；三等獎號碼為4330，可獲獎金l元；其余號碼則需付費2元．
(1)求搖獎一次中獎的概率；
(2)求搖獎一次莊家獲利金額的期望值．(最終結果均用最簡分數表示)
19．(本小題滿分12分)
如圖，在四棱錐
中，底面
是直角梯形， 
，且
，側面 
底面，
是等邊三角形．
(1)求證：
；
(2)求二面角
的大小．
20．(本小題滿分12分)
已知
為坐標原點，點、分別在軸、軸上運動，且
，動點
滿足
，設點的軌跡為曲線
，定點
，直線
交曲線于另外一點
．
(1)求曲線的方程；
(2)求
面積的最大值．
21．(本小題滿分12分)
設
為數列的前
項之積，滿足
．
(1)設
，證明數列
是等差數列，并求
和
；
(2)設
求證：
．
22．(本小題滿分12分)
設
(1)判斷函數的單調性；
(2)是否存在實數、使得關于的不等式
在(0，)上恒成立，若存在，
求出的取值范圍，若不存在，試說明理由；
(3)求證：
(其中
為自然對數的底數).
東北三省四市長春、哈爾濱、沈陽、大連第一次聯合考試
說明：
一、本解答給出一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題
的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則．
二、對計算題當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后續部分的解答未改變該題的
內容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如
果后續部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得累加分．
四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分數．
一、選擇題(每小題5分，滿分60分)
1．C 2．D 3．D 4．C 5．B 6．B 7．A 8．D 9．B 10．B 11．A 12．C
簡答與提示：
1．
，故選C.
2．∵
∴
，故選D．
3．因為四個命題均有線在面內的可能，所以均不正確，故選D．
4．
，故選C．
5．利用疊加法及等比數列求和公式，可求得
，故選B.
6．以
為直徑的圓與圓
的公共弦即為所求，直線方程為
，故
選B．
7．
，將
的圖象先向左平移
個單位得到
的圖象，再沿
軸將橫坐標壓縮到原來的
倍(縱坐標不變)得到
的圖象，故選A．
8．在點(0，一1)處目標函數取得最大值為9，故選D．
9．先在后三位中選兩個位置填兩個數字“
種填法，再排另兩張卡片有
種排
法，再決定用數字“
個四位數，
故選B．
10．依題意
，∴
，故選B．
11．因為函數
在其定義域內為減函數，所以
恒成立，即
為減函數(切線斜率減小)，故選A．
12．
，
∵
，∴
，當A、F、B
三點共線時取得最小值，故選C．
二、填空題(每題5分．共20分}
13．3 14．
15．28 16．①③
簡答與提示：
13．∵V正四面體 
，∴
.
14．∵
，∴
，∴
．
15．∵
，
∴
，∴
．
16．∵
，
∴
，
∵
，
∴
，故①③正確．
三、解答題(滿分70分)
17．本小題主要考查三角函數的基本公式、三角恒等變換、三角函數圖象及性質．
解：(1)∵
(4分)
∴
．
(2)當
，即
時，
，
， (6分)
當
，即
，
，
∴函數
的值域為[
，1]．
(10分)
18．本小題主要考查概率的基本知識與分類思想，考查運用數學知識分析問題解決問題的
能力．
解．(1)中一等獎的概率為
，
(2分)
中二等獎的概率為
，
(4分)
中三等獎的概率為
，
(6分)
∴搖獎一次中獎的概率為
(7分)
(2) 由(1)可知，搖獎一次不中獎的概率為
(9分)
設搖獎一次莊家所獲得的金額為隨機變量
，則隨機變量的分布列為：
∴
∴搖獎一次莊家獲利金額的期望值為
元 (12分)
19．本小題主要考查空間線面位置關系、異面直線所成角、二面角等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力以及空間向量的應用．
解法一：(1)證明：
取
中點為
，連結、
，
∵△
是等邊三角形，
∴
又∵側面
底面
，
∴
底面，
∴為
在底面上的射影，
又∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
(2)取中點
，連結
、
，
(6分)
∵
．
∴
．
又∵，
，
∴
平面
，
∴，
∴
是二面角
的平面角.
(9分)
∵，
，
∴
．
∴
，
∴
，
∴
，
∴二面角的大小為
(12分)
解法二：證明：(1) 取中點為，
中點為
，連結
，
∵△是等邊三角形，
∴，
又∵側面底面，
∴底面，
∴以為坐標原點，建立空間直角坐標系
如圖， (2分)
∵，△是等邊三角形，
∴
，
∴
．
∴
．
∵
∴．
(2)設平面
的法向量為
∵
∴
令
，則
，∴
(8分)
設平面
的法向量為
，
∵
，
∴
，
令
，則
，∴
(10分)
∴
，
∴
，
∴二面角的大小為.
(12分)
20．本小題主要考查直線、橢圓等平面解析幾何的基礎知識，考查軌跡的求法以及綜合解題能力
解：(1)設
，則
∵
,∴
，∴
，
(3分)
又
，∴
∴曲線
的方程為
(6分)
(2)由(1)可知， (4，0)為橢圓的右焦點，設直線
方程為
，由
消去得，
，
∴
(9分)
∴
，
當
，即
時取得最大值，
此時直線方程為
.
(12分)
21．本小題主要考察等差數列定義、通項、數列求和、不等式等基礎知識，考察綜合分析問題的能力和推理論證能力．
解：(1)∵
，
∴
(2分)
∴
，
∵
∴
.
(4分)
∵
∴
，∴
，
∴
，
∴數列
是以2為首項，以1為公差的等差數列，
∴
，∴
，
∴
．
(7分)
(2)
，
∵
∴
(10分)
當
時，
，
當
時，
，
∴
.
(12分)
22．本小題主要考查函數的單調性、最值、不等式等基礎知識，考查運用導數研究函數性質
的方法，考查分析問題和解決問題的能力．
解：(1)∵
∴
，
(1分)
設
.
∴
，
∴
(1+z)在
上為減函數．
(3分)
∴
，
∴
，
∴函數
在
上為減函數．
(5分)
(2)
在上恒成立，
在上恒成立，
(6分)
設
，則
，
∴
，
(7分)
若
，則
時，
同步練習冊答案
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