1．復數的共軛復數所對應的點位于復平面的

   A．第一象限       B．第二象限     C．第三象限       D．第四象限

2 在等比數列中，若，則的值為

   A．9      B．1       C．2         D．3

3．設或，或，則是的

   A．充分不必要條件   B．必要不充分條件  C．充要條件  D．既不充分也不必要條件

4．要得到的圖象，只需將的圖象

   A．向左平移個單位        B．向左平移個單位

   C．向右平移個單位        D．向右平移個單位

5．一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖的側視圖是腰長為4的兩個全

   等的等腰直角三角形。若該幾何體的體積為

   A．32         B．16          C．        D．

6．展開式中只有第六項的二項式系數最大，則展開式的常數項是

   A．360       B．180       C．90         D．45

7．設，函數的導函數是，且是奇函數，若曲線的一條切線的斜率是，則切點的橫坐標為

   A．       B．       C．        D．

8．函數的圖象大致是

9．已知則的最小值是

   A．2        B．      C．4         D．

10．要從10名女生和5名男生中選出6名學生組成課外興趣小組學習，則按分層隨即抽樣組成此課外興趣小組的概率為

A．     B．      C．      D．

11．若點為共焦點的橢圓和雙曲線的一個交點，分別是它們的左右焦點，設橢圓心離率，雙曲線離心率為，若，則

   A．1        B．2       C．3         D．4

12．已知是所在平面內一點，且滿足，則點

   A．在邊的高所在的直線上        B．在平分線所在的直線上

   C．在邊的中線所在的直線上      D．是的外心

第Ⅱ卷（共90分）

注意事項：

    第Ⅱ卷共2頁。考生必須使用0.5毫米黑色簽字筆在答題紙上各題目的指定答題區域內

作答，填空題請直接填寫答案，解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。在試卷上作

答無效。

13．設集合，，則=_________

14．已知某算法的流程圖如圖所示，若將輸出的值依次記為

、若程序運行中輸出的一個數

組是，則_________。

15．在三棱錐中，側棱兩兩垂直，

    的面積分別為則三棱錐的外接球的體積

    為________________。

16．當對數函數的圖象至少經過區域

    內的一個點時，實數的取值范圍為______________________。

17．（本小題滿分12分）

已知的周長為，且。

（I）求邊的長；       （Ⅱ）若的面積為求角的度數。

18．（本小題滿分12分）

袋子和中裝有若干個均勻的紅球和白球，從中摸出一個紅球的概率是，從中摸

出一個紅球的概率是

（1）若兩個袋中球數之比為1：2，將兩袋中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是求的值

（2）從中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球即停止。

①求恰好摸5次停止的概率；②記5次之內（含5次）摸到紅球的次數為，求隨機變量的分布列及數學期望。

19．在數列中，已知

（1）記求證：數列是等差數列；

（2）求數列的通項公式；

（3）對于任意給定的正整數，是否存在，使得若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。

20．如圖：四棱錐的底面是提醒，腰，平分且與垂直，側面都垂直于底面，平面與底面成60°角

（1）求證：；

（2）求二面角的大小

21．已知橢圓的上、下焦點分別為，點為坐標平面的動點，滿足

（1）求動點的軌跡的方方程；

（2）過點作曲線的兩條切線，切點分別為，求直線的方程；

（3）在直線上是否存在點，過該點的坐標：若不存在。試說明理由

22．已知函數   （注：）

（1）若函數在上為增函數，求正實數的取值范圍；

（2）當時，若直線與函數的圖象在上有兩個不同交點，求實數的取值范圍：

（3）求證：對大于1的任意正整數

山東省實驗中學高三2006級第三次診斷性測試

                數學試題答案（理科）       （2009，3）

 本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，

第I卷1至2頁，第Ⅱ卷3

至4頁。滿分150分。考試用時120分鐘�？荚嚱Y束后，將答題紙和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題60分）

注意事項：

12．A

第Ⅱ卷（共90分）

注意事項：

    第Ⅱ卷共2頁�？忌�必須使用0.5毫米黑色簽字筆在答題紙上各題目的指定答題區域內

作答，填空題請直接填寫答案，解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，在試卷上作

答無效。

13．       14．81         15．   16．

17．（本小題滿分12）

已知的周長為，且

（I）求邊的長；  （Ⅱ）若的面積為，求角的度數。

解（I）由題意及正弦定理，得

兩式相減，得

（Ⅱ）由的面積，

由余弦定理，有，

所以

18．（本小題滿分12分）

袋子和中裝有若干個均勻的紅球和白球，從中摸出一個紅球的概率是，從中摸出一個紅球的概率是，若兩個袋中球數之比1：2，將兩袋中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是

（1）求的值

（2）從 中有放回地摸求，每次摸出一個，有3次摸到紅球即停止。

①求恰好摸5次停止的概率；②記5次之內（含5次）摸到紅球的次數為 ，求隨機變量

的分布列及數學期望。

解：（1）設 袋中球的個數為 ，則 袋中球的個數為

因為從 中摸出一個紅球的概率是 ，從 中摸出一個紅球的概率是

所以 袋中紅球的個數為 ， 袋中紅球的個數為 ，記“將兩袋中的球裝在一起后，從中摸出一個紅求“為事件C，則 ，

所以

（2）①記“恰好摸5次停止”為事件 ，事件 ，事件 發生，意味著第五次恰好摸到紅球，且前四次

中有兩次摸到紅球，故②隨機變量 的所有取值為0，1，2，3。  

所以  隨機變量的分布列為：

0

1

2

3

所以隨機變量的數學期望為

19．（本小題滿分12分）在數列中，已知

（1）記，求證：數列是等差數列；

（2）求數列的通項公式；

（3）對于任意給定的正整數，是否存在，使得若存在，求出的值：若不存在，請說明理由，

解：（1）因為  所以

    所以

    因為    所以

所以   數列是以為首項，以2為公差的等差數列；

（2）由（1）可得：   即 

     因為      所以

（3）假設對于任意給定的正整數，存在使得，則

       可解得 

因為   任意給定的正整數，  必為非負偶數。

所以  

所以  存在使得

20．（本小題滿分12分）如圖：四棱錐的底面是梯形，腰平分且與垂直，側面都垂直于底面，平面與底面成60°角

（1）求證：        （2）求二面角的大小。

（1）證明：因為  側面都垂直于底面，

           所以  面

           所以  又因為

           所以   面

          所以

（2）解：因為  在等腰梯形中，對角與互補

         又因為平分且與垂直，

          所以

          所以

         過點作，垂足為點， 連結

         則便是平面與底面所成二面角的平面角

即，   在中，  求得：

所以在中，求得：

如圖建立空間直角坐標系，則

所以

設平面的法向量為=（）

則   所以；

設平面的法向量為，

則  所以

所以   二面角的大小為

依題意可得，對恒成立，

所以   對恒成立，

所以   對恒成立，，即

（2）當時，若，，單調遞減；

若單調遞增；

故在處取得極小值，即最小值

又

所以要使直線與函數的圖象在上有兩個不同交點，

實數的取值范圍應為，即；

（3）當時，由可知，在上為增函數，

當時，令，則，故，

即所以。

故

相加可得

又因為

所以對大于1的任意正整書

21．（本小題滿分12分）已知橢圓的上、下焦點分別為，點為坐標平面內的動點，滿足

      （1）求動點的軌跡的方程；

      （2）過點作曲線的兩條切線，切點分別為，求直線的方程：

      （3）在直線上否存在點，過該點作曲線的兩條切線，切點分別為，使得，若存在，求出該點的坐標；若不存在，試說明理由。

解：（1）因為為橢圓的上、下焦點，所以設。

所以 

因為  

所以，整理可得

所以所求動點的軌跡的方程為

（2）（法一）設過點所作曲線的切線的斜率為，則切線方程為

由 可得：

，所以或

過點所作曲線的切線方程為和

由和可分別解得：和

所以直線的方程的方程為：

（法二）設過點所作曲線的兩切線的切點為，

   則   記  則，

則兩條切線的方程為

即

和

即：

因為兩條切線均經過點，所以且

所以  直線的方程的方程為：

（3）若存在，不妨設其坐標為，過點所作曲線的切線斜率為，

則切線方程為，即

由可得：

因為直線和拋物線相切，所以

設兩條切線的斜率分別為，則

因為   所以

所以  兩條切線垂直  所以所以

所以   在直線上是存在點滿足題意。

22．（本小題滿分14分）已知函數

（1）若函數在上為增函數，求正實數的取值范圍；

（2）當時，若直線與函數的圖象在上有兩個不同的交點，求實數的取值范圍：

（3）當時，求證對大于1的任意正整數

解：（1）因為     所以