1．設是否空集合，定義且，已知

   B=，則等于___________

2．若是純虛數，則的值為___________

3．有一種波，其波形為函數的圖象，若在區間[0，t]上至少有2個波峰（圖象的最高點），則正整數t的最小值是___________

4．我市某機構調查小學生課業負擔的情況，設平均每人每做作業時間（單位：分鐘），按時間分下列四種情況統計：0～30分鐘；②30～60分鐘；③60～90分鐘；④90分鐘以上，有1000名小學生參加了此項調查，右圖是此次調查中某一項的流程圖，其輸出的結果是600，則平均每天做作業時間在0～60分鐘內的學生的頻率是___________

5．已知直線與圓相交于，兩點，是優弧上任意一點，則=___________

6. 已知是等差數列，，則該數列前10項和=________

7. 設的內角，所對的邊長分別為，且則

的值為_________________

8．當時，，則方程根的個數是___________

9．設是的重心，且則的大小為___________

10．設，若“”是“”的充分條件，則實數的取值范圍是________________

11．設雙曲線=1的右頂點為，右焦點為，過點作平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點，則的面積為___________

12．若關于的不等式組表示的平面區域是一個三角形，則的取值范圍是_______________

13．已知函數的大小關系為_____________

14．如果一條直線和一個平面垂直，則稱此直線與平面構成一個“正交線面對”，在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成“正交線面對”的概率為________

15. 設函數。

   （1）寫出函數的最小正周期及單調遞減區間；

   （2）當時，函數的最大值與最小值的和為，求的圖象、y軸的正半軸及x軸的正半軸三者圍成圖形的面積。

16. 如圖，在長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1,AA₁=2,

G是CC₁上的動點。

（Ⅰ）求證：平面ADG⊥平面CDD₁C₁

（Ⅱ）判斷B₁C₁與平面ADG的位置關系，并給出證明；

17. 某高級中學共有學生2000人，各年級男、女生人數如下表：

高一

高二

高三

女生

373

x

y

男生

377

370

z

已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到高二年級女生的概率是0.19.

（Ⅰ）現用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生，問應在高三年級抽取多少人？

（Ⅱ）已知求高三年級女生比男生多的概率.

18. 已知均在橢圓上，直線、分別過橢圓的左右焦點、，當時，有.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設是橢圓上的任一點，為圓的任一條直徑，求的最大值.

19. 過點P（1，0）作曲線的切線，切點為M₁，設M₁在x軸上的投影是點P₁。又過點P₁作曲線C的切線，切點為M₂，設M₂在x軸上的投影是點P₂，…。依此下去，得到一系列點M₁，M₂…，M_n，…，設它們的橫坐標a₁，a₂，…，a_n，…，構成數列為。

   （1）求證數列是等比數列，并求其通項公式；

   （2）求證：；

   （3）當的前n項和S_n。

20.設函數f(x)=x²-mlnx,h(x)=x²-x+a.

（1）                   當a=0時，f(x)≥h(x)在（1,+∞）上恒成立，求實數m的取值范圍;

（2）                   當m=2時，若函數k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有兩個不同零點，求實數 a的取值范圍;

（3）                   是否存在實數m，使函數f(x)和函數h(x)在公共定義域上具有相同的單調性？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由。

試題答案

1. （2，） 2.   3.5  4. ．0.40  5.   6.100   7.4  8. 2個    9. 60°

10. （-2，2）11.   12．     13．    14．

15. 解（1）           

故函數的單調遞減區間是。                

（2）

當時，原函數的最大值與最小值的和

的圖象與x軸正半軸的第一個交點為                         

所以的圖象、y軸的正半軸及x軸的正半軸三者圍成圖形的面積

16. .解：（Ⅰ）∵ ABCD－A₁B₁C₁D₁是長方體，且AB=AD

        ∴平面

        ∵平面    ∴平面ADG⊥平面CDD₁C₁

（Ⅱ）當點G與C₁重合時，B₁C₁在平面ADG內，

當點G與C₁不重合時，B₁C₁∥平面ADG

證明：∵ABCD－A₁B₁C₁D₁是長方體，

∴B₁C₁∥AD

若點G與C₁重合， 平面ADG即B₁C₁與AD確定的平面，∴B₁C₁平面ADG

若點G與C₁不重合

∵平面,平面且B₁C₁∥AD

∴B₁C₁∥平面ADG

17. 解:（Ⅰ）-           

高三年級人數為

現用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生，應在高三年級抽取的人數為            

(人).                     

（Ⅱ）設“高三年級女生比男生多”為事件，高三年級女生、男生數記為.

由（Ⅰ）知且

則基本事件空間包含的基本事件有

共11個,  

事件包含的基本事件有

共5個   

答：高三年級女生比男生多的概率為.

18. 解:(Ⅰ)因為，所以有

所以為直角三角形；

則有

所以，

又，

在中有

即，解得

所求橢圓方程為

 (Ⅱ)

從而將求的最大值轉化為求的最大值

是橢圓上的任一點，設，則有即

又，所以

而,所以當時，取最大值

故的最大值為₈.

19. 解：（1）對求導數，得的切線方程是

當n=1時，切線過點P（1，0），即0

當n>1時，切線過點，即0

所以數列

所以數列                       

   （2）應用二項公式定理，得

（3）當

，

同乘以                        

兩式相減，得

所以                                               

20. 解：（1）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x　即

記，則f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等價于.

求得

當時;;當時，

故在x=e處取得極小值，也是最小值，

即，故.

（2）函數k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有兩個不同的零點等價于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有兩個相異實根。

令g(x)=x-2lnx,則

當時，,當時，

g(x)在[1,2]上是單調遞減函數，在上是單調遞增函數。

故

又g(1)=1,g(3)=3-2ln3

∵g(1)>g(3),∴只需g(2)<a≤g(3),

故a的取值范圍是(2-2ln2,3-2ln3)

（3）存在m=，使得函數f(x)和函數h(x)在公共定義域上具有相同的單調性

,函數f(x)的定義域為（0,+∞）。

若，則，函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增，不合題意;

若,由可得2x²-m>0，解得x>或x<-（舍去）

故時，函數的單調遞增區間為(,+∞)

單調遞減區間為(0, )

而h(x)在(0,+∞)上的單調遞減區間是(0,)，單調遞增區間是(，+∞)

故只需=，解之得m=

即當m=時，函數f(x)和函數h(x)在其公共定義域上具有相同的單調性。