河南省實驗中學2009年高三年級第一次質量預測
數學試題（文科）
本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分。考試結束后，將本試卷和答卷一并交回。
第Ⅰ卷
注意事項：
1．答題前，考生在答題卡上務必用0．5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號、座號填寫清楚，并將準考證號對應的數字涂黑.
2．每小題選出答案后，用28鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．在試題卷上作答無效.
3．本卷共l2小題，每小題5分，共60分,在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
參考公式：
如果事件
互斥，那么 球的表面積公式
如果事件A，B相互獨立，那么 其中R表示球的半徑
球的體積公式 
一、選擇題
1．設
=
，
=
，則
=
（ ）
A．[2,4]
B．
[-2,2]
C．[-2,4] D．[-4,4]
2．若向量
=（4,2）,
=(6,m),則
，則
的值是 （ ）
A．12 B．
3．曲線
在點
處的切線方程是 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．若函數
的反函數是
，則
= （ ）
A．0 B．
5．設
是過拋物線焦點的弦，那么以為直徑的圓與拋物線的準線的位置關系是（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定
6．一枚硬幣連擲5次，這至少一次正面向上的概率是 （ ）
3
4
A．
B．
C． 
D．
7．將1、2、3…9這九個數字填在如圖的9個空格中，要求每一
行從左到右，每一列從上到下增大，當3、4固定在圖中的位
置時，填寫空格的辦法為
（ ）
A．6種 B．12種 C．18種 D．24種
8．如右圖，在正方體
-
中，
為
的中點，則
與
所在直線所成角的余弦值等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知函數
的值為 （ ）
A．-4 B．
10．已知函數
是
上的減函數。那么的取值范圍是
（ ）
A． 
B．
C．
D．
11．同時具有性質：“①最小正周期是
②圖像關于直線
對稱③在
上是增函數”的一個函數是 （ ）
A．
B．
C．
D．
12．斜率為2的直線
過雙曲線
的右焦點，且與雙曲線的左右兩支分別相交，則雙曲線的離心率
的取值范圍是 （ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷
注意事項：
1．答題前，考生先在答題卡上用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫清楚。
2．第Ⅱ卷共2頁，請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卷上各題的答題區域內作答，在試題卷上作答無效。
3．本卷共l0小題，共90分．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
（注意：在試題卷上作答無效）
13．已知
，則
的最小值是 .
14．
15的展開式中各項系數和是
?
15．等差數列｛an｝的前10項和為10，前20項和為30，則其前30項和等于
.
16．下列命題：①如果一個平面內有一條直線與另一個平面內的一條直線平行，那么這兩個平面平行；②如果一個平面內的兩條直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；③平行于同一平面的兩個不同平面相互平行；④垂直于同一直線的兩個不同平面相互平行。其中真命題的是
.
（把正確的命題序號全部填在橫線上）
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17．（本小題滿分10分）（注意：在試卷上作答無效）
為△ABC的內角A、B、C的對邊，
，且與
的夾角為
。
（I）求角C；
（Ⅱ）已知
，△ABC的面積
，求
．
18．（本題滿分l2分）（注意：在試卷上作答無效）
如圖所示，正方形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直，G是AF的中點．
（I）求證：AC∥平面GBE；
（Ⅱ）若直線BE與平面ABCD成45o角，求平面GBE
與平面ABCD所成的銳二面角的大小．
19．（本題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）
從某批產品中，有放回地抽取產品2次，每次隨機抽取1件，假設事件：“取出的2件產品中至多有一件是二等品”的概率
（Ｉ）求從該批產品中任取1件是二等品的概率P；
（II）若該批產品共100件，從中一次性任意抽取2件，求事件：“取出的2件產品中至少1件是二等品”的概率
20．（本題滿分12分）（注意:在試題卷上作答無效）
已知三次函數
在
，（
）上單調遞增，在
上單調遞減.
（I）求
的值；
（II）若當且僅當
時，
，求
的解析式.
21．（本題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）
已知是互相垂直的單位向量，
.
（I）若
,
,試寫出
;
（II）若
,
,試寫出
;
（III）記
,求數列
的前項和.
22．（本題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）
已知點
,
分別在直線
和
上運動,點
是線段
的中點,且
動點軌跡是曲線
.
（I）求曲線的方程,并討論所表示的曲線類型;
（II）當
時,過點
的直線與曲線恰有一個公共點,求直線的斜率.
一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
C
B
B
A
B
C
D
C
D
二、填空題
13．2 14．-1 15．60 16．③④
三、解答題
17．解：（1）∵
，
，
∴
．
…………2分
又
，
…………4分
∴
，∴
．…………5分
（2）∵
，
，，
∴
．
…………7分
∵
，
∴
． …………9分
∴
，
∴
.…………10分
18． (1)證明：連結BD交AC于點M，取BE的中點N，
連結MN，則MN∥ED且MN＝
ED，依題意，
知AG∥ED且AG＝ED，
∴MN∥AG且MN＝AG．
故四邊形MNAG是平行四邊形，
AM∥ＧＮ，即AC∥ＧＮ，…………4分
又∵
，
∴ AC∥平面GBE． …………6分
（2）延長EG交DA的延長線于H點，
連結BH，作AP⊥BH于P點，連結GP．
∵ 平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD ，
GH
平面ADEF， GA⊥AD．
∴ GA⊥平面ABCD，由三垂線定理，知GP⊥BH，
故∠GPA就是所求二面角的平面角． …………8分
∵ 平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD ，ED⊥AD．
∴ ED⊥平面ABCD，
故∠EBD就是直線BE與平面ABCD成的角，…………10分
知∠EBD＝45°，設AB＝a，則BE＝BD＝
a．
在
ABH中：AH＝AB= a，
BH＝
，AP＝
＝
a．
在GPA中：由AG＝
＝a
＝AP ，GA⊥AP，知∠GPA＝45°．
故平面GBE與平面ABCD所成的銳二面角的大小為45°．…………12分
19．解：（1）記A0表示事件“取出的2件產品中無二等品”，A1表示事件“取出的2件產品中恰有1件是二等品”．
則A0、A1互斥，且A＝A0＋A1，
故P (A)＝P
(A0＋A1)＝P
(A0) ＋P
(A1)＝(1－p)2＋C
p (1－p)＝1－p2．
依題意，知1－p2＝0.96，
又p＞0，得p＝0.2．…………6分
（2）若該批產品共100件，由（1）知，其中共有二等品100×0.2＝20件．
記Ｃ表示事件“取出的2件產品中無二等品”，
則事件Ｂ與事件Ｃ互斥，依題意，知
Ｐ(C)＝
．故P (Ｂ)＝1－Ｐ(C)＝
．…………12分
20．解 （1）
在
上單調遞增，
上單調遞減，
有兩根
，……3分
……6分
（2）令
，
則
，
……………8分
因為
在
上恒大于0，
所以
在上單調遞增，
故
，
， …………10分
.
……………12分
21．解：（１）依題意，知
=10b－b =9b．
由
０，
得
，
故
＝
，
得＝
9b=
b．…………4分
(2)依題意，知
=
由
得
即 
－
＝
故＝
（3）由a、b是互相垂直的單位向量，c = a+b知，b •c= b •( a+b)=0+1=1．
得 an＝b •2 n c＝2 n．記數列｛an｝的前n項和為Sn，
則有 Sn=2×9+4×3+6×1+8×
+…+2 n．①…………10分
Sn=2×3+4×1+6×+8×
+…+2(n-1)+ 2 n
．②
①－②得，
Sn=2[9+3+1++…+]- 2 n．
故Sn =
．…………12分
22．解：（I）設
依題意得
消去
，整理得
．…………4分
當
時，方程表示焦點在
軸上的橢圓；
當
時，方程表示焦點在
軸上的橢圓；
當
時，方程表示圓． …………6分
（II）當
時，方程為
，
設直線
的方程為
，
消去得
．…………10分
根據已知可得
，故有
，
，
直線的斜率為
. …………12分
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