（1）這個對應終歸是什么對應？    →

（2）這個對應是否一定可以實現？在學過的恒等、伸壓、反射、旋轉、投影、切變變換中，哪些可以實現，那些不能？由此得到能實現此這種變換的條件是什么？（不一定能實現；恒等、伸壓、反射、旋轉、切變可以實現，投影不能實現；是一一對應的變換可以實現，不是一一對應的不能實現）

   （3）對應的矩陣如何表示？若T₁對應變換矩陣為A，T₂對應的變換矩陣為B，BA=E

 1、相關定義

  以上變換T₂、T₁稱作對方的逆變換，T₁、T₂稱互逆的

相應的矩陣A、B滿足：AB=BA=E，稱A是可逆的，B稱A的逆矩陣

例1、A=,B=,C=,問B、C是否為A的逆矩陣？

解答：B不是，C是

思考1：一個矩陣A存在逆矩陣，逆矩陣唯一嗎？

  從直觀角度上看，逆變換是唯一的，逆矩陣也應該唯一；可以進行驗證：設A的逆矩陣為B₁、B₂，則有：B₁=B₁E=B₁（AB₂）=（B₁A）B₂=EB₂=B₂

  這樣，一個矩陣A存在逆矩陣，則其逆矩陣唯一，記為A^-1

思考2：如何判斷一個二階矩陣存在逆矩陣，又如何求呢？

   從幾何角度是一個辦法，但不是最家辦法，因為許多矩陣不能看出是什么變換。所以從一般的角度加以考慮。首先，零矩陣一定沒有逆矩陣

設二階非零矩陣的逆矩陣為，則

=

即方程組  有解，①②組成的x₁,y₁的方程組要有解；③④組成的x₂、y₂的方程組也要有解

現用消去法解①②方程組。①×d得：adx₁+bdy₁=d     ②×b得：cbx₁+bdy₁=0   兩式作差得到

(ad-bc)x₁=d,要有解，必須ad-bc≠0，此時x₁=,將之代入②得y₁=-

  對于③④，實質是將①②中a與c,b與d互換，從而x₂=,y₂=-

  2、結論：一個二階非零矩陣存在逆矩陣的條件是ad-bc≠0（主對角線積與副對角線積的差不為0），此時^-1=

與原矩陣比較：分母都是ad-bc，分子主對角線互換，副對角線變為其相反數

即：主角對角積相減，四元分母盡一般；分子主角兩相換，副角分子數相反

這樣判斷及求逆矩陣方法有幾何法和代數法兩個方法

例2、判斷下列矩陣是否存在逆矩陣，存在條件下，求其逆矩陣

(1)    (2)            (3)

   解：（1）存在逆矩陣，^-1=

   （2）不存在逆矩陣

（3）存在逆矩陣，^-1=

思考3：A=，B=    求A^-1、B^-1、(AB)^-1及B^-1A^-1，由此看出什么規律，這個規律是否對一般的情況仍然成立？

A^-1=,B^-1=,(AB)^-1=^-1=,B^-1A^-1=,(AB)^-1=B^-1A^-1

對于一般的，對應矩陣也應有(AB)^-1=B^-1A^-1

這個結論還可以用代數方法證明：(AB)(B^-1A^-1)=A(BB^-1)A^-1=AEA^-1=AA^-1=E，同理(B^-1A^-1)(AB)=E

根據定義有(AB)^-1=B^-1A^-1

例3、求的逆矩陣   （）

例4、A、B、C為二階矩陣，AB=AC，A存在逆矩陣，則B與C是否相等，證明你的結論

解：AB=ACA^-1AB=A^-1ACEB=ECB=C

這一結論可以回答：矩陣乘法的消去律在有逆矩陣條件下成立

練習：A、B、C為二階矩陣，BA=CA，A存在逆矩陣，則B與C是否相等，證明你的結論（相等）

2、(AB)^-1=B^-1A^-1

3、A存在逆矩陣時，AB=AC或BA=CA，則B=C

[補充習題]

1、討論矩陣存在逆矩陣的條件，當它可逆時求其逆矩陣

2、求的逆矩陣

[補充習題答案]

1、d=0時不存在逆矩陣；d≠0時，存在逆矩陣

2、

[情況反饋]

第二課時    二階矩陣與二元一次方程組

[教學目標]

[教學難點、重點]矩陣法解方程組原理

[教學過程]

一、情景引入

消元法二求解元一次方程組

當ad－bc≠0時，方程組的解為

問題：此結論有什么規律，能否進行簡單記憶？

二、新課內容

1、二階行列式有關定義

定義：det(A) ＝＝ad－bc

因此方程組的解為    

記：D＝，D_x＝，D_y＝，所以，方程組的解為

這里D_x是將右邊的常數列代替了x列，D_y是將y列用常數列代替

思考：二階矩陣與二階行列式有什么不同？（矩陣是數表，行列式是一個數值）

例1 求方程組的解

解：[方法一]原方程可以化為，D==-2,D_x==-13,D_y==8

所以，方程組的解為

分析二：原方程化成 之后，可以用矩陣表示為AX=B,這樣A^-1AX=A^-1B,X=A^-1B

[方法二] 原方程可以化為,即=

=^-1==，故方程組的解為

   說明：方法二的解法為矩陣法，對一般的存在逆矩陣的方程組解法有直接解方法、行列式法、矩陣法，有的還有幾何法

練習1：解方程組                （x=2,y=2）

練習2：解方程=               (x=4,y=1)

練習3：在矩陣M=對應的變換T_M作用下，求點P(1,0)、Q(0,1)的原象點的坐標

   例2、給定一個二階A，=，=，≠

  求證（1）若A可逆，則有A≠A    (2)若A=A，則A不可逆，并說明其幾何意義

  證明：(1)假設A=A，則A^-1 A=A^-1A，=與已知矛盾，故A≠A

(2)若A可逆，設為A^-1，則A^-1 A=A^-1A，=與已知矛盾，故A不可呢。幾何意義，當一個矩陣將兩個不同元素變為同一元素時，必非一一對應，矩陣不可逆

例3、研究=的解

解：是將平面上所有的點都垂直于x軸投影到y=x上，通過運算也可以得到=，x=2

所以方程組有無數多個解，滿足x=2直線上所有點都是其解

   說明：不可逆，不能用行列式或逆矩陣方法求解

 [補充習題]

1、對于二元一次方程組A=,其中A=,若A₁=,A₂=,用A、A₁、A₂的行列式表示方程組的解

2、T_A是繞原點旋轉60⁰的旋轉變換，T_B是切變角為45⁰沿OX軸方向的切變變換，PP^/(2,4)P^//,求P和P^//的坐標

3、已知=A

[補充習題解答]

1、|A|≠0時，有唯一解x=,y= ;|A|=0,|A₁||A₂|≠0時，無解；|A|=0,|A₁||A₂|=0時有無窮多個解

2、P(1+2,-+2),P^//(6,4)

3、A=^-1-1=

[情況反饋]