⑴M=  ，非零向量=

⑵ M= ，非零向量=

⑶M＝ ，非零向量＝，

解：⑴ M=  ==3，所以M與共線。

⑵ M=   =，而與不共線。 即此時M與不共線。

⑶M與共線。

二、新課內容：

1、定義：

設二階矩陣A ，對于實數λ，存在一個非零向量，使得A＝λ，那么λ稱為A的一個特征值，而稱為A的屬于特征值λ的一個特征向量。

幾何觀點：特征向量的方向經過變換矩陣A的作用后，保持在同一直線上。λ＞0方向不變；λ＜0方向相反；λ＝0，特征向量就被變換成零向量。

思考問題：特征向量與特征值如何求？又有什么用

2、特征向量與特征值的求法

A=，λ為其一個特征值，對應的特征向量為=，根據定義有

=λ，有不全為0的解，于是

=0這樣可以求出特征值，代入可以求相應的特征向量

定義：設A=是一個二階矩陣，λ為實數，則f(λ)==λ²-（a+d）λ+ad-bc稱A的特征多項式

例1、求的特征值和特征向量，并從幾何角度解釋

解：f(λ)==(λ+1)(λ-1)=0,λ=1或λ=-1

λ=1時=，解為y=0，故屬于1的特征向量為

λ=-1時=，解為x=0，故屬于-1的特征向量為

總之，的特征值為-1及1，屬于1的特征向量為；屬于-1的特征向量為

關于x軸對稱的變換，x軸、y軸上的點對應的向量作用后共線

練習：求矩陣M=  的特征值和特征向量（M= 有兩個特征值₁=4，₂=-2，

屬于₁=4的一個特征向量為，屬于₂=-2的一個特征向量為。）

   3、特征值和特征向量的用途

     M=，λ₁、λ₂為其一個特征值，對應的特征向量為、，則對于任意正整數n及，

Mⁿ=?有沒有一般的規律？

由平面向量知識知，存在實數a,b使=a+b, M= M(a+b)=M( a)+M(b)

= a(M)+b(M)=aλ₁+bλ₂，

   M²=M(M)=M( aλ₁+bλ₂)=aλ₁(M)+bλ₂(M)= aλ₁²+bλ₂²

   ………

   Mⁿ= aλ₁ⁿ+bλ₂ⁿ

  這樣得到結論：  M=，λ₁、λ₂為其一個特征值，對應的特征向量為、，則對于任意正整數n及， Mⁿ= aλ₁ⁿ+bλ₂ⁿ

例3、 已知：矩陣M= ，向量 = 求M³

解：由上題可知₁ =,₂ =是矩陣M=        分別對應特征值₁=4，₂=-2的兩個特征向量，而₁與₂不共線。又==3+=3₁+₂

∴M³= M³(3₁+₂)=3 M³₁+ M³₂ =3₁³₁+₂³₂=3×4³+(-2)³×

     =192×-8×==

練習：已知M＝，＝，試計算M⁵⁰

S2:將所求向量用特征向量表示

S3:根據結論求值