1．已知全集U=R，A={-1，0，1}，B={x||x|>x}，則A∩(_UB)=

A．{1}                        B．{0，1}                   C．{-1}                      D．Æ

2．下列各選項中，與sin2008º最接近的是

A．                       B．                          C．                    D．

3．已知等差數列{a_n}，S_n是它的前_n項和，若a₇+a₉=16，則S₁₅=

A．64                          B．32                          C．120                        D．60

4．設實數a，b滿足ab<0，則下列不等式中正確的一個是

A．|a-b|<|a+b|             B．|a+b|<|a-b|              C．|a-b|<||a|-|b||           D．|a-b|<|a|+|b|

5．已知a，b是非零向量，且，則向量的模為

A．                       B．2                            C．                  D．3

6．對平面α和異面直線l₁，l₂，下面四個命題中的真命題是

A．若l₁α，則l₂與α相交

B．若l₁α，則l₂一定不垂直于α

C．若直線l₁'，l₂'是l₁，l₂在α內的射影，則l₁'，l₂'是相交直線

D．若l₁⊥l₂，且l₁與α成45º的角，則l₂與α所成的最大角是45º

7．若對于任意實數x，有x³=a₀+a₁(3-x)+a₂(3-x)²+a₃(3-x)³，則a₀+a₂=

A．36                          B．18                          C．10                          D．4

8．已知：集合，集合H={(x，y)|x²+y²=2}，“命題：(x，y)∈G”是“命題：(x，y)∈H”的必要而不充分條件，則u的取值范圍是

A．u≤                  B．u≤-                C．u≤2               D．u≤-2

9．已知lga<0，則函數的圖象是

A．                         B．                       C．                          D．

10．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，M是CC₁的中點，設正方體的外接球球心為O，則點O到面A₁B₁M的距離等于

A．                       B．                            C．                       D．

11．設F₁，F₂分別是橢圓（a>b>0）的左、右焦點，與直線y=b相切的⊙F₂交橢圓于點E，且E是直線EF₁與⊙F₂的切點，則橢圓的離心率為

A．                       B．                       C．                       D．

12．已知y=f (x)是其定義域上的單調遞增函數，它的反函數是，且y=f (x+1) 的圖象過A(-4，0)，B(2，3)兩點，若≤3，則x的取值范圍是

A．[0，3]                    B．[-4，2]                  C．[-1，2]                  D．[1，3]

綿陽市高中2008級第三次診斷性考試

數  學（文史類）

第Ⅱ卷（共90分）

注意事項：

1．用鋼筆或圓珠筆直接答在試卷中．

2．答卷前將密封線內的項目填寫清楚．

題號

二

三

總分

總分人

總 分

復查人

17

18

19

20

21

22

分數

得分

評卷人

13．拋物線y=x²的焦點坐標是__________．

14．△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且a²+b²=2c²，則∠C的最大值為_______．

15．今年“3?15”，某報社做了一次關于“手機垃圾短信”的調查，在A、B、C、D四個單位回收的問卷數依次成等差數列，共回收1000份．因報道需要，再從回收的問卷中按單位分層抽取容量為150的樣本．若在B單位抽30份，則在D單位抽取的問卷是_________份．

16．已知α∈R，且α≠，k∈Z，設直線l：y= x tanα+m，其中m≠0．給出下列結論：

①l的傾斜角為arctan(tanα)；

②l的方向向量與向量a=(cosα，sinα)共線；

③l一定與直線xsinα-ycosα+n=0（n≠m）平行；

④若0<α<，則l與直線y=x的夾角為-α．

其中，真命題的編號是__________．（寫出所有真命題的編號）

得分

評卷人

17．（本題滿分12分）

若函數sin²x- sinx cosx (>0)的最小正周期為．

（1）求的值：

（2）若將的圖象向右平移個單位后，所得的圖象C對應的函數g(x)恰好是偶函數，求最小正數，并求g(x)的單調遞增區間．

得分

評卷人

18．（本題滿分12分）

如圖，直二面角P-AD-C中，四邊形ABCD是∠BAD=120º的菱形，AB=2，PA⊥AD，E是AB的中點，設PC與平面ABCD所成的角為45º．

（1）求證：平面PCE平面PAB；

（2）求二面角A-PD-E的大小．

得分

評卷人

19．（本題滿分12分）

某社區舉辦北京奧運知識宣傳活動，現場的“抽卡有獎游戲”特別引人注目．游戲規則是：盒子中裝有8張形狀大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“奧運吉祥物”或“奧運會徽”．要求兩人一組參加游戲，參加游戲的兩人從盒子中輪流抽取卡片，一次抽1張，抽后不放回，直到兩人中的一人抽到“奧運會徽”卡得獎才終止游戲．

（1）游戲開始之前，一位高中生問：盒子中有幾張“奧運會徽”卡？主持人說：若從盒中任抽2張卡片不都是“奧運會徽”卡的概率為．請你回答有幾張“奧運會徽”卡呢？

（2）現有甲、乙兩人參加游戲，雙方約定甲先抽取乙后抽取．求甲獲獎的概率．

得分

評卷人

20．（本題滿分12分）

已知函數圖象上斜率為3的兩條切線間的距離為，的導數為，函數．

（1）若函數在x=1有極值，求的解析式；

（2）若函數在[-1，1]是增函數，且≥在[-1，1]上都成立，求實數m的取值范圍．

得分

評卷人

21．（本題滿分12分）

下表給出的是由n×n（n≥3，n∈N*）個正數排成的n行n列數表，a_ij表示第i行第j列的一個數．表中第一列的數從上到下依次成等差數列，其公差為d．表中各行，每一行的數從左到右依次都成等比數列，且所有公比相等，公比為q，已知a₁₃=，a₂₃=，a₃₂=1．

a₁₁

a₁₂

a₁₃

…

a_1n

a₂₁

a₂₂

a₂₃

…

a_2n

a₃₁

a₃₂

a₃₃

…

a_3n

…

…

…

…

…

a_n1

a_n2

a_n3

…

a_nn

（1）求a₁₁，d，q的值；

（2）設表中對角線上的數a₁₁，a₂₂，a₃₃，…，a_nn組成的數列為{a_nn}，記T_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn，求使不等式2ⁿT_n<4ⁿ-n-43成立的最小正整數n．

得分

評卷人

22．（本題滿分14分）

O為坐標原點，A(x_A，y_A)和B(x_B，y_B)兩點分別在射線x+y=0(x≤0)，x-y=0(x≥0)上移動，且，動點P滿足．記點P的軌跡為C．

（1）求的值；

（2）求C的方程，并說明它表示怎樣的曲線？

（3）設點G(-1，0)，若直線y=kx+m（m≠0）與曲線C交于M、N 兩點，且M、N兩點都在以G為圓心的圓上，求k的取值范圍．

綿陽市高2008級第三次診斷性考試

數學（文）參考解答及評分標準

BACBC    DADAC    DC

13．(0，)       14．             15．60                    16．②④

17．解：（1）∵

， …………………………………4分

∵  f(x)的最小正周期為，

∴ ．

∴ ．  ……………………………………………………………………6分

（2）∵ +，

∴

，  ………………………………………8分

∴ 要使函數g(x)是偶函數，則，k∈Z，

∴ ，k∈Z

∴ 當且僅當k=-1時，取最小正數．  ………………………………10分

∴ ．

∴  2kπ-π≤4x≤2kπ，k∈Z，解得≤x≤，k∈Z．

∴  g(x)的單調遞增區間是[]，k∈Z．  ……………………12分

18．（1）證明：∵ PA⊥AD，二面角P-AD-C是直二面角，

∴ PA⊥面ABCD．

∴ PA⊥CE． …………………………………………………………………2分

如圖，連接AC，∵ ABCD是菱形，∠BAD=120º，

∴ ∠BAC=60º，∠ABC=60º，

∴ △ADC是等腰三角形．

∵ E是AB的中點，

∴ CE⊥AB， ………………4分

∴ 平面PCE⊥面PAB．  …5分

（2）作CD的中點F，連結AF．

同理可得 AF⊥AB．

如圖以A為原點，建立空間

直角坐標系A-xyz．

∵ PA⊥面ABCD，

∴ ∠PCA是PC與面ABCD所成角．

∴ ∠PCA=45º．  ……………………………………………………………6分

∴ PA=AC=AB=2．

∴ P(0，0，2)．

又∵ D(-1，，0)，E(1，0，0)，A(0，0，0)，

∴ (0，0，2)，(-1，，0)．

設面APD的法向量為n₁=(x，y，z)，

∴ n₁，n₁，

∴   令，則x=3，z=0．

∴ n₁)． …………………………………………………………9分

同理可求得面PDE的一個法向量為n₂．  ………………10分

∴ cos<n₁，n₂>=，即 <n₁，n₂>=．

∴ 二面角A-PD-E的大小為． ………………………………………12分

19．解：（1）設盒子中有“會徽卡”n張，依題意有，，

解得n=3．

即盒中有“會徽卡”3張．…………………………………………………4分（2）由題意知，甲最多可能摸三次，

若甲第一次抽取就中獎，則；………………………………………6分

若甲第二次抽取才中獎，則；  …………………………8分

若甲第三次抽取才中獎，則．  ………………10分

∴ 甲獲獎的概率為．……………………12分

20．解：∵ ，

∴ 由有，

即切點坐標為(a，a)，(-a，-a)，

∴ 切線方程為y-a=3(x-a)，或y+a=3(x+a)，

整理得3x-y-2a=0，或3x-y+2a=0．   ………………………………………2分

∴   解得：a=±1，………………………………………4分

∴ ，．

∴ g(x)=3x²-3bx+3．…………………………………………………………5分

（1）∵

∵ g(x)在x=1處有極值，

∴ ，即3×1²-3b=0，

解得  b=1．

∴ g(x)=3x²-3x+3．…………………………………………………………7分（2）∵ 函數在[-1，1]是增函數，

∴ (x)=3x²-3b在[-1，1]上恒大于0，

∴ b≤0．  ……………………………………………………………………9分

又∵ b²-mb+4≥g(x)在[-1，1]上恒成立，

∴ b²-mb+4≥g(1)，

即 b²-mb+4≥4-3b．  ………………………………………………………11分

∴ m≥b+3在b∈上恒成立．

∴ m≥3，

∴ m的取值范圍是．   ……………………………………………12分

21．解：（1）根據題意可列出如下方程組：

       …………………………………………………………3分

解得a₁₁=1，d=，q=．  …………………………………………………5分

（2）∵  a_nn=a_n1?q^n-1

=[a₁₁+(n-1)d]?q^n-1

=[1+(n-1)×]?()^n-1

=，    ……………………………………………………7分

∴

，

，

兩式相減得 

．

∴ ．    …………………………………………………………10分

于是原不等式化為  4ⁿ-3×2ⁿ-40>0，

即  (2ⁿ+5)(2ⁿ-8)>0．

∴ 2ⁿ>8，

∴ n>3．

故使不等式成立的最小正整數為4．………………………………………12分

22．解：（1）∵ A(x_A，y_A)，B(x_B，y_B)分別在射線=0，上，

∴ ，，即，，

∴ x_Ax_B=-3y_Ay_B．

又∵ ，

∴ x_Ax_B+y_Ay_B=-2．

∴ -2y_Ay_B=-2，

∴ y_Ay_B=1．……………………………………………………………………3分

（2）設P(x，y)．

由可得  ，，

即 ，

∴ ，(y_A+y_B)²=4y²，

兩式相減有：x²?4y²，即．…………………………6分

∵ y_A≥0，y_B≥0，且y_A、y_B不同時為0，

∴ y>0．

∴軌跡C的方程為（y>0），它表示雙曲線的上支．

………………………………………………………………………………7分

（3）

消去x，整理得：(3k²-1)y²+2my-m²-3k²=0．……………………………8分

∵ 直線y=kx+m與曲線C交于M，N兩點，設M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，

∴ Δ>0，y₁+y₂>0，y₁y₂>0，

即 ………………………………10分

由①整理得：m²+3k²-1>0，                ④

由③有：3k²-1<0，                             ⑤

∴  由②有m>0．

又∵  M、N在以點G為圓心的圓上，

設MN的中點為Q，則GQ⊥MN，即．

∵  Q()，

∴  ，，

∴  ．

∴  ．

∵  x₁≠x₂

∴  ，

∴  ．

又∵ ，

∴  ．

整理得4mk=3k²-1，      ⑥…………………………………………………12分

把⑥代入④中有：m²+4mk>0，

由m>0，所以m+4k>0．

又由⑥有m=，代入上式得，

∴ ，

∵  4mk=3k²-1中3k²-1<0，m>0，∴k<0．

于是19k²-1<0．

解得 ．

再由3k²-1<0，得．

綜合得k的取值范圍為(，0)．………………………………………14分