1．如果復數(2+ai)i(a∈R)的實部與虛部是互為相反數，則a的值等于

    A．-l    B．1      C  2     D．-2

2009年深圳市高三年級第一次調研考試

數學(理科)答案及評分標準

說明：

1

2

3

4

5

6

7

8

C

C

D

C

A

B

B

A

  9．．              10．．             11． ．          12． ； ．

 13．．          14． ．             15．．

16．（本小題滿分12分）

已知函數．學科網

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）設，求的值域和單調遞增區間．學科

網【解】（Ⅰ）∵_學科網

.                                                                  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                                                                                                             　　　　　　　　　　　　　　　　    　　　　                　　　　　       ……………………  3分                  

的最小正周期為．                                  …………………  5分

（Ⅱ）∵，  ，    ．                        

的值域為．       　                 　         ………………  10分

當遞減時，遞增．　　　　　　　　　　　　

，即．        

故的遞增區間為．           　      　          ……………………12分

17．（本小題滿分12分）

如圖，為圓的直徑，點、在圓上，，矩形和圓所在的平面互相垂直．已知,．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的大��；

(Ⅲ)當的長為何值時，二面角的大小為？

【解】（Ⅰ）證明：平面平面,,

平面平面=，

平面．

平面，，

又為圓的直徑，，

平面．

平面，平面平面．                  ………………………4分

 （Ⅱ）根據（Ⅰ）的證明，有平面，為在

平面上的射影，

因此，為直線與平面所成的角．                   ………………………5分

，四邊形為等腰梯形，

過點作，交于．

,，則．

在中，根據射影定理，得．       ………………………7分

，．

直線與平面所成角的大小為．                       ………………………8分

 (Ⅲ)（解法一）過點作，交的延長線于點，連．

根據（Ⅰ）的證明，平面，則，

為二面角的平面角，．             …………………9分

在中，，,．              …………………  10分

又四邊形為矩形， ．

．               

因此，當的長為時，二面角的大小為．            …………………12分

（解法二）設中點為，以為坐標原點，、、方向

分別為軸、軸、軸方向建立空間直角坐標系（如圖）

設，則點的坐標為

在中，，,．

點的坐標為，點的坐標為,

，

設平面的法向量為，則,．

即     令，解得

                                               …………………10分

取平面的一個法向量為，依題意與的夾角為

，即， 解得（負值舍去）

因此，當的長為時，二面角的大小為．           …………………12分

18．（本小題滿分14分）

甲乙兩人進行圍棋比賽，約定每局勝者得1分，

負者得分，比賽進行到有一人比對方多分或打滿

局時停止．設甲在每局中獲勝的概率為，

且各局勝負相互獨立．已知第二局比賽結束時比賽

停止的概率為．

若右圖為統計這次比賽的局數和甲、乙的總得

分數、的程序框圖．其中如果甲獲勝，輸入，

；如果乙獲勝，則輸入．

寫什么條件？

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）設表示比賽停止時已比賽的局數，求隨機變量

的分布列和數學期望． 　　　  

注：“”，即為“”或為“”．

【解】（Ⅰ）程序框圖中的第一個條件框應填，第二個應填．     ………………… 4分

注意：答案不唯一．

（Ⅱ）依題意，當甲連勝局或乙連勝局時，第二局比賽結束時比賽結束．

有．   

 解得或．                               …………………………………6分

，     ．                                ………………………… 7分

（Ⅲ）（解法一）依題意知，的所有可能值為2，4，6．            ………………………… 8分

設每兩局比賽為一輪，則該輪結束時比賽停止的概率為．

若該輪結束時比賽還將繼續，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響．

從而有，

　　　　，

　　　　．

隨機變量的分布列為：                                    …………………………… 12分

故．                           …………………………… 14分

 （解法二）依題意知，的所有可能值為2，4，6．                      …………………  8分

令表示甲在第局比賽中獲勝，則表示乙在第局比賽中獲勝．

由獨立性與互不相容性得

，

              ，

              ．                                   …………………  12分

隨機變量的分布列為：

故．                                 …………………  14分

19．（本題滿分14分）

已知函數（，）．

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）若不等式對一切正整數恒成立，求實數的取值范圍．

【解】（Ⅰ）                                     …………………  2分

，

由，得．

，，．

又．

函數的單調遞增區間為,遞減區間為．  ………… 6分  

（Ⅱ）【法一】不等式，即為．……………（※）

令，當時，．

則不等式（※）即為．                             …………………9分

令，，

在的表達式中，當時，，

又時，，

在單調遞增，在單調遞減．

在時，取得最大，最大值為．             …………………12分

因此，對一切正整數，當時，取得最大值．

實數的取值范圍是．                           ………………………… 14分

【法二】不等式，即為．………………（※）

設，

，

令，得或．                               ………………………… 10分

當時，，當時，．

當時，取得最大值．

因此，實數的取值范圍是．                        ………………………… 14分

20．（本題滿分14分）

在四邊形中，已知，點在軸上， ，且對角線．

（Ⅰ) 求點的軌跡的方程；

(Ⅱ)若點是直線上任意一點，過點作點的軌跡的兩切線、，、為切點，為的中點．求證：軸或與軸重合；

(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下，直線是否恒過一定點？若是，請求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由．

【解】（Ⅰ)如圖，設點的坐標為，

則，

，，即．

∴所求的軌跡是除去頂點的拋物線 ……………… 3分

  （解法一）(Ⅱ)對函數求導得，．

設切點坐標為，則過該切點的切線的斜率是，該切線方程是．

又設點的坐標為，

切線過點，有，

化簡，得．                              …………………………6分

設、兩點的坐標分別為、，則、為方程的兩根，

．

因此，當時，直線與軸重合，當時，直線與軸平行     …………9分

(Ⅲ) ．

點的坐標為．                         

     又．

直線的方程為：，即．………（）

當時，方程（）恒成立，

對任意實數，直線恒過定點，定點坐標為．        …………………………14分

（解法二）(Ⅱ)設點的坐標為，利用切點弦直線方程的結論可得出直線的方程為，即                          …………………………7分

由 得.

．

.

因此，當時，直線與軸重合，當時，直線與軸平行.   ……………9分

(Ⅲ) 由(Ⅱ)得知直線的方程為，即．

后面解法同解法一.

21．（本題滿分14分）

已知函數，為函數的導函數．

（Ⅰ）若數列滿足：，（），求數列的通項；

（Ⅱ）若數列滿足：，（）．

（?）當時，數列是否為等差數列？若是，請求出數列的通項；若不是，請說明理由；

（?）當時， 求證：．

【解】（Ⅰ），                                    …………………………1分

，

即．                         …………………………3分

，   數列是首項為，公比為的等比數列．

，即．                  …………………………5分

（Ⅱ）（?），

．

當時，．

假設，則．

由數學歸納法，得出數列為常數數列，是等差數列，其通項為．   …………8分

（?）， ．

當時，．

假設，則 ．

由數學歸納法，得出數列．              …………………………10分

又，

，

即．                                   …………………………12分

．

，

．                               　   …………………………14分

                                        審題：石永生    命題：喻秋生   姚亮   黃元華