2009年上海市四校高三質量調研
數學（理科）試題
考生注意：
1.答卷前，考生務必在答題紙上將姓名、準考證號填寫清楚.
2.本試卷共有21道試題，滿分150分.考試時間120分鐘.
題號
一
二
三
總分
16
17
18
19
20
21
得分
一、填空題 （本大題滿分55分）本大題共有11題，只要求直接填寫結果，每個空格填對得5分，否則一律得零分。
1．已知
，若
為純虛數，則
的值為
。
2．已知集合
，且
，則實數的取值范圍是
。
3．已知函數
，
。
4．球面上有A、B、C三點，AB＝AC＝2，
，球心到平面ABC的距離為1，則球的表面積為
。
5．已知數列
滿足：
，且對任意的正整數
，都有
，若數列的前項和為
，則
。
6．若
，且
，則
_________。
7．已知雙曲線
的左焦點在拋物線
的準線上，則
。
8．已知對于任意實數
，函數
滿足
，若方程
有且僅有2009個實數解，則這2009個實數解之和為
。
9．袋中有3個白球，2個紅球和若干個黑球（球的大小均相同），從中任取2個球，設每取得一個黑球得0分，每取得一個白球得1分，每取得一個紅球得2分，已知得0分的概率為
，則袋中黑球的個數為。
10．
中，
分別是角
的對邊，已知
，
，現有以下判斷:
① 
不可能等于15；②
若
,則
；③若
,則
有兩解。請將所有正確的判斷序號填在橫線上____________。
11．如圖所示，已知D是面積為1的△ABC的邊AB的中點，E是邊AC上任一點，連結DE，F是線段DE上一點，連結BF，
設，
，
，且
，則△BDF的面積S的最大值是 。
二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把正確結論的代號寫在題后的圓括號內，選對得 4分，不選、選錯或者選出的代號超過一個，一律得零分。
12．設已知全集
，集合
，則
等于
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
13．設
（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
14．已知點
是直線
上一動點，PA、PB是圓
的兩條切線，A、B
是切點，若四邊形PACB（C為圓心）面積的最小值為2，則k的值為 （ ）
（A）3 （B）
（C）
（D）2
15．已知不等式
對于
,
恒成立,則實數的取值范圍是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
三、解答題（本大題滿分90分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟.
16.（本題滿分11分）如圖，
、是單位圓
上的點，
是單位圓與軸正半軸的交點，點的坐標為
，三角形
為等邊三角形。求
及
的值。
17. （本題滿分12分） 本題共有3個小題，每小題滿分4分。
如圖，四面體
中，
、
分別是
、
的中點，
。
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求異面直線
與
所成角的大小；
（Ⅲ）求點到平面
的距離。
18. （本題滿分12分） 本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分。
某企業為打入國際市場，決定從A、B兩種產品中只選擇一種進行投資生產。已知投資生產這兩種產品的有關數據如下表：（單位：萬美元）
項目
類別
年固定成本
（單位：萬美元）
每件產品成本
（單位：萬美元）
每件產品銷售價
（單位：萬美元）
每年最多可生產的件數（單位：件）
A產品
20
10
200
B產品
40
8
18
120
其中年固定成本與年生產的件數無關，為常數，且
。另外，年銷售
件B產品時需上交
萬美元的特別關稅。
（1）寫出該廠分別投資生產A、B兩種產品的年利潤
，
與生產相應產品的件數之間的函數關系并指明其定義域；
（2）如何投資才可獲得最大年利潤。
19. （本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。
已知函數
，
（1）判斷
的奇偶性，并說明理由；
（2）當
時，討論函數在區間
上的單調性。
20. （本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分。
在直角坐標系
中，橢圓
的左、右焦點分別為
,
也是拋物線
的焦點，點
為
與
在第一象限的交點，且
。
（Ⅰ）求點的的坐標及橢圓的方程；
（Ⅱ）已知直線
，且與橢圓交于
兩點，提出一個與
面積相關的問題，并作出正確解答。
21. （本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分。
已知為實數，數列
滿足
，當
時，
，
（1）當
時，填寫下列列表格：
2
3
35
100
（2）當時，求數列的前100項的和
；
（3）令
，求證：當
時，
。
2009年上海市四校高三質量調研
數學試卷（理科）
一、填空題：
1．
2． 
3．
4．12
5．
6．11 7．
8．2009
9．4個 10．①②
11．解: 
。因為△ABC的面積為1, 
,所以,△ABE的面積為
,因為D是AB的中點,所以, △BDE的面積為
,因為
,所以△BDF的面積為
,當且僅當
時,取得最大值。
二、選擇題：
12．B 13．C 14．D 15．D
三、解答題：
16．解：（Ⅰ）因為
點的坐標為
，根據三角函數定義可知
，
，
，
2分
所以
4分
（Ⅱ）因為三角形
為正三角形，所以
，
，
，
5分
所以
8分
所以
。
11分
17．解：方法一：（I）證明：連結OC，因為
所以
又
所以
，
2分
在
中，由已知可得
而
所以
所以
即
，
而
所以
平面
。
4分
（II）解：取AC的中點M，連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知
所以直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角， 5分
在
中，
因為
是直角斜邊AC上的中線，所以
所以
所以異面直線AB與CD所成角的大小為
。
8分
（III）解：設點E到平面ACD的距離為
，因為
9分
在
中，
所以
而
所以
，
所以點E到平面ACD的距離為
。
12分
方法二：（I）同方法一。
（II）解：以O為原點，如圖建立直角坐標系，則
，設
的夾角為
，則
所以異面直線AB與CD所成角的大小為。
（III）解：設平面ACD的法向量為
則
令
得
是平面ACD的一個法向量。又 
所以點E到平面ACD的距離 
。
18．解：（Ⅰ）由年銷售量為
件，按利潤的計算公式，有生產A、B兩產品的年利潤
分別為：
且
2分
所以
5分
（Ⅱ）因為
所以
為增函數，
，所以
時，生產A產品有最大利潤為
（萬美元）
7分
又
，所以
時，生產B產品
有最大利潤為460（萬美元） 9分
現在我們研究生產哪種產品年利潤最大，為此，我們作差比較：
11分
所以：當
時，投資生產A產品200件可獲得最大年利潤;
當
時，生產A產品與生產B產品均可獲得最大年利潤；
當
時，投資生產B產品100件可獲得最大年利潤。12分
19．解：（1）當
時，
，
成立，所以
是奇函數；
3分
當
時，
，這時
所以是非奇非偶函數；
6分
（2）當
時，
設
且
,則
9分
當
時，因為且，所以
所以
，
，所以是區間
的單調遞減函數。 12分
同理可得是區間
的單調遞增函數。
14分
20．解：（Ⅰ）由拋物線
：
知
，設
，
在上，且
，所以
，得
，代入，得
，
所以
。
4分
在
上，由已知橢圓的半焦距
，于是
消去
并整理得 
， 解得
（
不合題意，舍去）．
故橢圓的方程為
。
7分
（另法：因為在上，
所以
，所以，以下略。）
（Ⅱ）由
得
，所以點O到直線
的距離為
，又
，
所以
，
且
。
10分
下面視提出問題的質量而定：
如問題一：當
面積為
時，求直線的方程。（
） 得2分
問題二：當面積取最大值時，求直線的方程。（
） 得4分
21．解：（1）
2
3
35
100
97
94
3
1
4分
（2）
由題意知數列
的前34項成首項為100,公差為－3的等差數列,從第35項開始,奇數項均為3,偶數項均為1, 6分
從而
=
8分
=
。
10分
（3）當
時，因為
,
所以
12分
當
時，
因為，所以
，
14分
當
時，
所以
。
16分
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