１．（2007廣東卷理14）設函數，則        ；若，則的取值范圍是           ．

【解析】.由得，則，得

【答案】6；

2.（2007海南、寧夏卷理22）設函數．

（I）解不等式；

（II）求函數的最小值．

【解析】（Ⅰ）令，則

．作出函數的圖象，它與直線的交點為和．所以的解集為．

（Ⅱ）由函數的圖像可知，當時，取得最小值．

3．（2008廣東卷理14）已知，若關于的方程有實根，則的取值范圍是       ．

【解析】方程即,利用絕對值的幾何意義(或零點分段法進行求解)可得實數的取值范圍為

【答案】

4．（2008海南、寧夏卷理22）已知函數．

（Ⅰ）作出函數的圖像；

（Ⅱ）解不等式．

【解析】（Ⅰ）

圖像如下：

（Ⅱ）不等式，即，

由得．

由函數圖像可知，原不等式的解集為．

5．（2008江蘇卷理21）設a，b，c為正實數，求證：．

【解析】：因為為正實數，由平均不等式可得

      即  

      所以，

      而

      所以

考點一：含有絕對值的不等式的解法

1（2008屆寧夏銀川一中高三年級第二次模擬考試）設函數f(x)=|2x-1|+x+3,  

   （1）解不等式f(x)≤5,

   （2）求函數y=f(x)的最小值。

【解析】（1）當x<時，f(x)=1-2x+x+3≤5,  -x≤1,  x≥-1,    -1≤x<

    當x≥時，f(x)=2x-1+x+3≤5   x≤1     ≤x≤1

  綜上所述解集為[-1， 1]

   （2）f(x)=由圖象可知[f(x)]_min=

考點二：絕對值的不等式|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R);|a+b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R).

2.[福建省2008年12月高三月考數學（理科）試卷]求|2x-3|+|3x+2|的最小值.

【解析|2x-3|+|3x+2|=|2x-3|+|2x+|+|x+|≥|（2x-3）-（2x+）|+|x+|≥4+0=4。

當x=-時取等號，∴|2x-3|+|3x+2|的最小值為4。

考點三：平均不等式

3.( 2008年南通四縣市高三聯合考試)求函數f(x)=sin³xcosx的最大值．

【解析】當sinxcosx＜0時，函數f(x)不可能取最大值．    

當sinxcosx＞0時，f ² (x)=sin⁶xcos²x=27（）（）（）cos²x              ≤27=，f(x)的最大值是．                     -

4.( 2008年江蘇省鹽城中學高三上學期第二次調研測試題)已知a>0,b>0,c>0,abc=1,試證明：.

【解析】由，所以

同理： ，  

相加得：左³

考點四：證明不等式的基本方法

5.( 2008年寧夏銀川一中高三年級第三次模擬考試)

設a∈R且a≠-,比較與-a的大�。�

【解析】 -()=,………………………………………………3分

當且時,∵ ,∴． ………………6分

當時, ∵ ,∴=． …………………………7分

當時,∵ ,∴．………………………… 10分

考點五：數學歸納法

6.（山東省濰坊市2008年5月高三教學質量檢測）已知各項均為正數的等比數列{a_n}，公比q>1，且滿足a₂a₄=64，a₃+2是a₂，a₄的等差中項.

   （1）求數列{a_n}的通項公式；

   （2）設，試比較A_n與B_n的大小，并證明你的結論.

【解析】（1）………………2分

    的等差中項，

    解得q=2或（舍去），………………………………………………4分

    ………………5分

   （2）由（1）得，

    當n=1時，A₁=2，B₁=（1+1）²=4，A₁<B₁；

    當n=2時，A₂=6，B₂=（2+1）²=9，A₂<B₂；

    當n=3時，A₃=14，B₃=（3+1）²=16，A₃<B₃；

    當n=4時，A₄=30，B₄=（4+1）²=25，A₄>B₄；

    由上可猜想，當1≤n≤3時，A_n<B_n；當n≥4時，A_n>B_n.……………………8分

    下面用數學歸納法給出證明：

    ①當n=4時，已驗證不等式成立.

    ②假設n=k（k≥4）時，A_k>B_k.成立，即,

    即當n=k+1時不等式也成立，

    由①②知，當

    綜上，當時，A_n<B_n；當

高考對這部分知識的考查主要考查絕對值的幾何意義，解含參絕對值不等式的解法，證明不等式的基本方法，會用數學歸納法證明一些簡單問題等.題型仍以填空題或解答題形式出現.

1.不等式的解集為__________________.

【解析】當≤－2時，原不等式可以化為≥5，解得≤－3，即不等式組的解集是.

當時，原不等式可以化為≥5，即3≥5，矛盾.所以不等式組，的解集為，

當≥1時，原不等式可以化為≥5，解得≥2，

即不等式組的解集是.

綜上所述，原不等式的解集是;  【答案】

2.若的最小值為3, 則實數的值是________.

【解析】由，得或8

【答案】或8

3.已知g(x)=|x-1|-|x-2|,則g(x)的值域為                    ；若關于的不等式的解集為空集，則實數的取值范圍是                 ．              

【解析】  當x≤1時，g(x)=|x-1|-|x-2|=-1，當１＜x≤２時，g(x)=|x-1|-|x-2|=2x-3,所以-１<≤1;當x＞２時，g(x)=|x-1|-|x-2|=1._{綜合以上，知-1≤g(x) ≤1。}

的解集為空集，就是1= []_max＜_所以  .【答案】[－１，１] ； ．

4.[寧夏區銀川一中2009屆高三年級第四次月考數學試題（理科）選考題] 已知|x-4|+|3-x|<a

（1）若不等式的解集為空集，求a的范圍

（2）若不等式有解，求a的范圍

【解析】解法一：（1）當  x≥4 時 ，（x-4）+（x-3） < a   ，f（x）=2x-7 在 x≥4上單調遞增   ，   x=4時取最小值1。若要求不等式無解，則 a 小于或等于該最小值即可.即 a ≤ 1;

當 4>x>3時 ，（4-x）+（x-3） < a  ，1 < a .若要求不等式無解，則 a ≤ 1。否則不等式的解集為全集;

當x ≤ 3 時 ,（4-x）+（3-x） < a , 7-2x < a.  在x ≤ 3區間，不等式左端的函數單調遞減.在 x=3 時取最小值 1.若要求不等式無解，則 a ≤ 1

綜合以上 a ≤ 1  .    

（2）當:x≥4時:|x-4|+|3-x|=x-4+x-3=2x-7,因為x≥4,所以2x-7≥1 ;

當 3≤x＜4時:|x-4|+|3-x|=4-x+x-3=1 ;

當:x＜3時:|x-4|+|3-x|=4-x+3-x=7-2x,因為x＜3,所以-x＞-3,所以7-2x＞1.

所以|x-4|+|3-x|最小值為1,要使|x-4|+|3-x|<a是空集,

只需a小于等于|x-4|+|3-x|的最小值,所以a≤1

所以有解時是a>1

解法二: 設y=|x-4|+|x-3|，（|x-3|=|3-x|）

等價于:

其圖象為:

由圖象知: 當a≤1時,|x-4|+|3-x|<a無解      

當1＜a時,|x-4|+|3-x|<a有解

5.(2008屆蘇北三市高三年級第一次聯合調研)  設的三邊長分別為，

（1）判定 的符號；

（2）求證：．

 【解析】（1）因為的三角形的三邊，所以……4分

（2）

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2009屆新課標數學考點預測（22）：不等式選講(二)

一、考點介紹

不等式選講是對以前所學不等式內容的深化，通過不等式的證明，不等式的證明，不等式的幾何意義、不等式的背景，從不等式的數學本質上加以剖析，從而提高思維邏輯能力、分析解決問題的能力。主要內容是(1)絕對值不等式的解法及證明；(2)柯西不等式；(3)用不等式求函數極值；(4)數學歸納法在證明不等式方面的應用。

1．（2008廣東卷，數學理，14）已知，若關于的方程有實根，則的取值范圍是       ．

〖解析〗方程即,利用絕對值的幾何意義(或零點分段法進行求解)可得實數的取值范圍。

〖答案〗

2．（2008海南寧夏卷，數學理，24）已知函數。

（1）作出函數的圖象；（2）解不等式。

〖解析〗本題考查絕對值不等式的解法，我們可以利用“零點分段法”，先求出每個含絕對值符號的代數式等于零的未知數的值，然后分類討論，得到一個分段函數。

〖答案〗（Ⅰ）

圖像如下：

（Ⅱ）不等式，即，

由得．

由函數圖像可知，原不等式的解集為．

3．（2008年江蘇卷，數學，21D）

設a，b，c為正實數，求證：．

〖解析〗本題是幾何平均不等式的應用，我們要靈活地掌握它。

〖答案〗因為為正實數，由平均不等式可得

      即  

      所以，

      而

      所以  

1．(2008全國高中數學聯賽江蘇初賽)如果實數，，，滿足，，其中，為常數，那么的最大值為 (   )

A．       B．      C．       D．

〖解析〗由柯西不等式；或三角換元即可得到

，當，時，. 選B.

〖答案〗B

2．（2008廣州市育才中學模擬）不等式的解集為(    )

A．                 B．  

C．              D．

〖解析〗當時，原不等式可以化為，

解得，即不等式組的解集是.

當時，原不等式可以化為，

即，矛盾.所以不等式組，的解集為，

當時，原不等式可以化為，解得，

即不等式組的解集是.

綜上所述，原不等式的解集是；

〖答案〗D

3．(2008年河北省高中數學競賽)已知則的最小值是（     ）．

   A         B        C 2        D   1

〖解析〗記，則，，（當且僅當，即，時取等號）．故選A．

〖答案〗A.

4．（2009年無錫調研）已知，，均為正數．求證：

〖解析〗本題考查不等式的證明，根據不等式的特點，利用基本不等式即可證明。

〖答案〗因為x，y，z無為正數．所以，同理可得，

，當且僅當時，以上三式等號都成立．

將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以2，得．

5．(2008年高中數學聯賽江西預賽)設為非負實數，滿足，

證明：．

〖解析〗證明不等式的思路主要有三：(1)比較法；(2)分析法；(3)綜合法。本題可以使用綜合法，結合基本不等式從左向右證明。

〖證明〗為使所證式有意義，三數中至多有一個為；根據對稱性，不妨設，則，對正數作調整，

由于 ，取等號當且僅當，

此時條件式成為，則，且有，于是

，

只要證，即，也即，

此為顯然，取等號當且僅當，故命題得證．

（一）本章是對必修5中不等式的補充和深化，從新課標高考看，考點主要有兩部分：一是絕對值不等式；二是不等式的證明與應用(求最值)，但要注意不等式的證明與數學歸納法的結合。但是近年來高考對不等式的證明難度要求有所降低，出現題目較少，因此應將絕對值不等式的解法和證明放在重點位置。本部分作為四選二的內容之一，必有一道選做的解答題，題目多為中低檔題。

（二）考點預測題

1．設，且，。則的取值范圍為_______.

〖解析〗本題考查不等式的基本性質，首先建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系，再利用“一次性”不等關系的運算求得待求整體的范圍。

 〖答案〗設(，為待定系數)，則，即。

所以。解之得，，所以

又，，所以，故。

2．已知不等式在有解，求的取值范圍。

〖解析〗本題考查絕對值不等式的解法�？梢岳�用不等式的性質解答。

 〖答案〗由不等式的性質知：，得

，若原不等式在有解，則的取值范圍是。

3．設，，均為正實數，求證：

〖解析〗本題考查不等式的證明。對這類問題，一要熟練掌握不等式常用的證明方法，即比較法、分析法、綜合法等。二要對證明不等式一般性命題的數學歸納法，應該熟悉其原理。三要注意在證明過程中，可以適當地使用放縮法。本題需要利用基本不等式結合放縮法證明。

 〖答案〗由于，，均為正實數，

所以，當時等號成立；

，當時等號成立；

，當時等號成立；

三個不等式相加，即得，

當且僅當時等號成立。

針對《考試說明》對本部分的要求，我們在復習是要注意：(1)重雙基。對不等式的基本性質、絕對值不等式的解法、應用不等式求最值的方法、不等式證明的方法等理解透徹，熟練應用。(2)重課本。復習中以課本為主，參照課本，不要認為加大難度，不要一味地“鉆”難題、怪題。

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2009屆新課標數學考點預測（23）選擇題的解法

1.題型的結構與解答特點：

數學選擇題通常是由一個問句或一個不完整的句子和四個供考生選擇用的選擇肢構成，即“一干，四支”�？忌�只需從選擇四肢中選擇一項作為答案，便完成了解答。高考數學選擇題的解答特點是“四選一”，怎樣快速、準確、無誤地選擇好這個“一”是十分必要的，也是決勝高考的前提，

2.數學選擇題的學科特點：

①     概念性強：數學概念是抽象的，而且是復雜的，學好考好數學的關健是正確理解好概念。數學選擇中有一部分是以基本概念為基礎命制和構造出來的。因此，快速準確地解好數學選擇題的前提是深刻理解數學基本概念。

②     量化突出：數學是研究現實世界中數量關系的科學，因此數學選擇題的數量特點十分明。但是，盲目計算又是解選擇題的一大“誤區”，只有建立在對的數學概念的深刻理解，熟練掌握基本性質，基本方法，基本定理的基礎之上科學合理地利用聯想、推理、類比等分析來簡化計算才能羸得高考的時間，確保選擇題的準確，從而才能奠定高考中數學高分。

③     辨證思維，善辨真偽。

④     數形結合，相互轉化。

⑤     一題多解，巧解高效。

3.考查特點：

①     能在較大的知識范圍內，實現對基礎知識，基本技能和基本思想方法的考查；

②     能比較確切地測試考生對概念、原理、性質和法則、定理和公式的掌握和理解；

③     在一定程度上，能有效地考查邏輯思維能力、運算能力空間想象能力，以及靈活和綜合地運用數學知識解決問題的能力。

4.思維策略

數學選擇題每次試題多、考查面廣，不僅要求考生有正確的分辨能力，還要有較快的解題速度，為此，需要研究解答選擇題的一些技巧。總的來說，選擇題屬小題，解題的原則是：“小題巧解，小題不能大做”。解題的基本策略是 ：充分地利用題干和選擇肢的兩方面條件所提供的信息作出判斷。

先定性后定量，先特殊后推理；先間接后直解，先排除后求解。

5.解題策略

（1）選擇題中的題干、選項和四選一的要求都是題目給出的重要信息，答題時要充分利用。

（2）解答選擇題的基本原則是小題不能大做，小題需小做、繁題會簡做、難題要巧做。求解選擇題的基本方法是以直接思路肯定為主，間接思路否定為輔，即求解時出了用直接計算方法之外還可以用逆向化策略、特殊化策略、圖形化策略、整體化策略等方法求解。

（3）解答選擇題應注意以下幾點：認真審題、先易后難、大膽猜想、小心驗證。

1、直接法：直接法是解答選擇題最常用的基本方法，低檔選擇題可用此法迅速求解。直接法適用的范圍很廣，只要運算正確必能得出正確的答案.提高直接法解選擇題的能力，準確地把握中檔題目的“個性”，用簡便方法巧解選擇題，是建在扎實掌握“三基”的基礎上的，否則一味求快則會快中出錯.

例1、有三個命題：①垂直于同一個平面的兩條直線平行；②過平面α的一條斜線l有且僅有一個平面與α垂直；③異面直線a、b不垂直，那么過a的任一個平面與b都不垂直。其中正確命題的個數為（    ）

A．0                B．1            C．2                D．3

解析：利用立幾中有關垂直的判定與性質定理對上述三個命題作出判斷，易得都是正確的，故選D。

例2、（08浙江）若雙曲線的兩個焦點到一條準線的距離之比為3：2,則雙曲線的離心率是（   ）

    （A）3        （B）5         （C）           （D）

解析：由已知得，，解得，故選D.

2、特例法：就是運用滿足題設條件的某些特殊數值、特殊位置、特殊關系、特殊圖形、特殊數列、特殊函數等對各選擇支進行檢驗或推理，利用問題在某一特殊情況下不真，則它在一般情況下也不真的原理，由此判明選項真偽的方法。用特例法解選擇題時，特例取得愈簡單、愈特殊愈好。常用的特例有特殊數值、特殊數列、特殊函數、特殊圖形、特殊角、特殊位置等.

（1）特殊值

例3、（08四川）若，則的取值范圍是：(   )

（Ａ）　　    （Ｂ）　　   （Ｃ）　　 （Ｄ）

解析：取.

例4、，則 （   ）

解析：由不妨取，則故選B.

例5、（08全國二）若，則（   ）

A．<<          B．<<      C． <<     D． <<

解析：令則，，故選C.

（2）特殊函數

例6、定義在R上的奇函數f(x)為減函數，設a+b≤0，給出下列不等式：①f(a)?f(－a)≤0；②f(b)?f(－b)≥0；③f(a)+f(b)≤f(－a)+f(－b)；④f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)。其中正確的不等式序號是（    ）

A．①②④           B．①④         C．②④         D．①③

解析：取f(x)= －x，逐項檢查可知①④正確。故選B。

（3）特殊數列

例7、已知等差數列滿足，則有　　　　　　�。ā　　。�

A、　　B、　　C、　　D、

解析：取滿足題意的特殊數列，則，故選C。

（4）特殊位置

例8、直三棱柱ABC―A^/B^/C^/的體積為V，P、Q分別為側棱AA^/、CC^/上的點，且AP=C^/Q，則四棱錐B―APQC的體積是（  ）（A）        （B）      （C）         （D）

解析：令P、Q分別為側棱AA^/、CC^/的中點，則可得，故選B

例9、（99高考）向高為的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量與水深的函數關系的圖象如右圖所示，那么水瓶的形狀是  (     )

解析：取，由圖象可知，此時注水量大于容器容積的，故選B。

（5）特殊點

例10、（08天津）函數（）的反函數是（   ）

    （A）（）　　  （B）（）

（C）（）   　�。―）（）

解析：由函數，x=4時,y=3，且,則它的反函數過點（3，4），故選A

（6）特殊方程

例11、雙曲線b²x²－a²y²=a²b² (a>b>0)的漸近線夾角為α，離心率為e,則cos等于（  ）

A．e            B．e²           C．           D．

解析：本題是考查雙曲線漸近線夾角與離心率的一個關系式，故可用特殊方程來考察。取雙曲線方程為－=1，易得離心率e=,cos=，故選C。

3、圖像法：就是利用函數圖像或數學結果的幾何意義，將數的問題(如解方程、解不等式、求最值，求取值范圍等)與某些圖形結合起來，利用直觀幾性，再輔以簡單計算，確定正確答案的方法。這種解法貫穿數形結合思想，每年高考均有很多選擇題(也有填空題、解答題)都可以用數形結合思想解決，既簡捷又迅速。

例12、

解析：如圖，令 ，則它們分別表示半圓和過點（0，2）的直線系，由圖可知，直線和半圓相切，以及交點橫坐標在（－1， 1）內

時，有一個交點，故選D.

 4、驗證法(代入法)：就是將選擇支中給出的答案或其特殊值，代入題干逐一去驗證是否滿足題設條件，然后選擇符合題設條件的選擇支的一種方法。在運用驗證法解題時，若能據題意確定代入順序，則能較大提高解題速度。

例13、滿足的值是 （   ）

解析：將四個選擇支逐一代入，可知選.

5、篩選法（也叫排除法、淘汰法）：就是充分運用選擇題中單選題的特征，即有且只有一個正確選擇支這一信息，從選擇支入手，根據題設條件與各選擇支的關系，通過分析、推理、計算、判斷，對選擇支進行篩選，將其中與題設相矛盾的干擾支逐一排除，從而獲得正確結論的方法。使用篩選法的前提是“答案唯一”，即四個選項中有且只有一個答案正確。

例14、若x為三角形中的最小內角，則函數y=sinx+cosx的值域是（    ）

A．（1，     B．（0，     C．[，]   　D．（，   

解析：因為三角形中的最小內角，故，由此可得y=sinx+cosx>1，排除B,C,D，故應選A。

6、分析法：就是對有關概念進行全面、正確、深刻的理解或對有關信息提取、分析和加工后而作出判斷和選擇的方法。

（1）特征分析法――根據題目所提供的信息，如數值特征、結構特征、位置特征等，進行快速推理，迅速作出判斷的方法，稱為特征分析法。

例15、已知，則等于 （      ）

      A、     B、      C、       D、　　

解析：由于受條件sin²θ+cos²θ=1的制約，故m為一確定的值，于是sinθ,cosθ的值應與m的值無關，進而tan的值與m無關，又<θ<π，<<,∴tan>1，故選D。

（2）邏輯分析法――通過對四個選擇支之間的邏輯關系的分析，達到否定謬誤支，選出正確支的方法，稱為邏輯分析法。（1）若（A）真（B）真，則（A）必排出，否則與“有且僅有一個正確結論”相矛盾.   (2) 若（A）（B），則（A）（B）均假。  （3）若（A）（B）成矛盾關系,則必有一真,可否定(C)(D).

例16、設a,b是滿足ab<0的實數，則　　　　　　　　　　　　　　�。�    ）

A．|a+b|>|a－b|           B．|a+b|<|a－b|  

 C．|a－b|<|a|－|b|     D．|a－b|<|a|+|b|

解析：∵A，B是一對矛盾命題，故必有一真，從而排除錯誤支C，D。又由ab<0，可令a=1,b= －1，代入知B為真，故選B。

7、估算法：就是一種粗略的計算方法，即對有關數值作擴大或縮小，從而對運算結果確定出一個范圍或作出一個估計的方法。

例17如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF//AB，

EF=3/2，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為（     ）

 A）9/2       B）5      C）6     D）15/2

解析：連接BE、CE則四棱錐E－ABCD的體積

V_E-ABCD=×3×3×2=6，又整個幾何體大于部分的體積，

所求幾何體的體積V_求> V_E-ABCD，選（D）

說明：1、解選擇題的方法很多，上面僅列舉了幾種常用的方法，其它方法不再一一舉例。需要指出的是對于有些題在解的過程中可以把上面的多種方法結合起來進行解題，會使題目求解過程簡單化。

2、對于選擇題一定要小題小做，小題巧做，切忌小題大做�！安粨袷侄危�多快好省”是解選擇題的基本宗旨。

 (一)直接法：

直接從題設條件出發，運用有關概念、性質、定理、法則等知識，通過推理運算，得出結論，再對照選擇項，從中選正確答案的方法叫直接法.

1.設f(x)是(－∞，∞)是的奇函數，f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x，則f(7.5)等于______.            (A)0.5      (B)－0.5     (C)1.5      (D)－1.5

1.【解】由f(x＋2)＝－f(x)得f(7.5)＝－f(5.5)＝f(3.5)＝－f(1.5)＝f(－0.5)，由f(x)是奇函數得f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，所以選B。也可由f(x＋2)＝－f(x)，得到周期T＝4，所以f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.

2. 七人并排站成一行，如果甲、乙兩人必需不相鄰，那么不同的排法的種數是(    )

(A)1440     (B)3600     (C)4320     (D)4800

2.【解一】用排除法：七人并排站成一行，總的排法有P種，其中甲、乙兩人相鄰的排法有2×P種。因此，甲、乙兩人必需不相鄰的排法種數有：P－2×P＝3600,對照后應選B；

【解二】用插空法：P×P＝3600.

3.已知則的值等于(  ). (A) 0 (B) (C)  (D) 9

3.[解] 由,可知選C.

4.

5.

5.[解]

  
 (二) 特例法：

 6.定義在區間(-∞，∞)的奇函數f(x)為增函數，偶函數g(x)在區間[0,+∞)的圖象與f(x)的圖象重合，設a>b>0,給出下列不等式

①f(b)－f(-a)>g(a)－g(-b);②f(b)－f(-a)<g(a)－g(-b);③f(a)－f(-b)>g(b)－g(-a);④f(a)－f(-b)<g(b)－g(-a).

其中成立的是(   )

  (A)①與④        (B)②與③     (C) ①與③        (D) ②與④

6.【解】令f(x)＝x，g(x)＝|x|，a＝2，b＝1,則：f(b)－f(-a)＝1－(－2)＝3, g(a)－g(-b)＝2－1=1,得到①式正確；f(a)－f(-b)＝2－(－1)＝3, g(b)－g(-a)＝1－2＝－1，得到③式正確.所以選C.

【另解】直接法：f(b)－f(-a)＝f(b)＋f(a)，g(a)－g(-b)＝g(a)－g(b)＝f(a)－f(b)，從而①式正確；f(a)－f(-b)＝f(a)＋f(b)，g(b)－g(-a)＝g(b)－g(a)＝f(b)－f(a)，從而③式正確.所以選C.

7.如果n是正偶數，則C＋C＋…＋C＋C＝(   )

     (A)2      (B)2       (C) 2       (D) (n－1)2

7.【解】用特值法：當n＝2時，代入得C＋C＝2,排除答案A、C；當n＝4時，代入得C＋C＋C＝8,排除答案D.所以選B.

【另解】直接法：由二項展開式系數的性質有C＋C＋…＋C＋C＝2，選B.

8.過拋物線y＝x²(a> 0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段FP與FQ的長分別是p、q，則＝(　　).

    (A)2a　　    (B)　　  　(C) 4a　　　　(D)

8.[解] 由題意知，對任意的過拋物線焦點F的直線，的值都是的表示式，因而取拋物線的通徑進行求解，則p＝q＝，所以=，故應選(D)

9.設a>0,f(x)=,曲線y=f(x)在點處的切線傾斜角的取值范圍為，則P到曲線y=f(x)對稱軸的距離的取值范圍為(   )

(A)              (B)            (C)         (D)

9.[解]取, 則

當曲線在點處的切線傾斜角的取值范圍為，則P到曲線y=f(x)對稱軸的距離的取值范圍為,只有(B)合,∴選(B).

10.

10.

.

 (三) 篩選法:

 11. 已知y＝log(2－ax)在[0,1]上是x的減函數，則a的取值范圍是(   )

      (A)[0,1]    (B)(1,2]    (C) (0,2)    (D) [2,+∞)

11.【解】∵ 2－ax是在[0,1]上是減函數，所以a>1，排除答案A、C；若a＝2，由2－ax>0得x<1，這與[0,1]不符合，排除答案C.所以選B.

12.過拋物線y＝4x的焦點，作直線與此拋物線相交于兩點P和Q，那么線段PQ中點的軌跡方程是(   )

 (A)y＝2x－1   (B)y＝2x－2   (C) y＝－2x＋1  (D) y＝－2x＋2

12.【解】篩選法：由已知可知軌跡曲線的頂點為(1,0)，開口向右，由此排除答案A、C、D，所以選B；

【另解】直接法：設過焦點的直線y＝k(x－1)，則，消y得：

kx－2(k＋2)x＋k＝0,中點坐標有,消k得y＝2x－2,選B.

13.關于直線以及平面，下面命題中正確的是(   ).

(A)若 則                (B)若 則

(C)若 且則 (D)若則

13.[分析]對于選支D, 過作平面P交平面N于直線，則，而從而又 故 應選(D)

請讀者舉反例說明命題A, B, C, 均為假命題.

14.

14.[解]

15.

15.[解]

.

 (四)代入法：

將各個選擇項逐一代入題設進行檢驗，從而獲得正確判斷的方法叫代入法，又稱為驗證法，即將各選擇支分別作為條件，去驗證命題，能使命題成立的選擇支就是應選的答案.

16.函數y=sin(－2x)＋sin2x的最小正周期是_____.(A) (B) (C) 2 (D) 4

16.【解】代入法：f(x＋)＝sin[－2(x＋)]＋sin[2(x＋)]＝－f(x)，而

f(x＋π)＝sin[－2(x＋π)]＋sin[2(x＋π)]＝f(x),所以應選B；

【另解】直接法：y＝cos2x－sin2x＋sin2x＝sin(2x＋),T＝π，選B.

17.函數y＝sin(2x＋)的圖象的一條對稱軸的方程是(   )

(A)x＝－     (B)x＝－       (C)x＝         (D)x＝

17.[解](代入法)把選擇支逐次代入，當x＝－時，y＝－1，可見x＝－是對稱軸，又因為統一前提規定“只有一項是符合要求的”，故選A.

另解：(直接法) ∵函數y＝sin(2x＋)的圖象的對稱軸方程為2x＋＝kπ＋，即x＝－π，當k＝1時，x＝－，選A.

代入法適應于題設復雜，結論簡單的選擇題.若能據題意確定代入順序，則能較大提高解題速度.

(五) 圖解法：

18.在圓x＋y＝4上與直線4x＋3y－12=0距離最小的點的坐標是(   )

 (A) (，)    (B)(,－)      (C) (－,)     (D) (－,－)

18.【解】圖解法：在同一直角坐標系中作出圓x＋y＝4和直線4x＋3y－12=0后，由圖可知距離最小的點在第一象限內，所以選A。

【直接法】先求得過原點的垂線，再與已知直線相交而得。

19.設函數 ，若，則的取值范圍是(   )       

(A)(,1)   (B)(,)   (C)(,)(0,)   (D)(,)(1,)

19.解：(圖解法)在同一直角坐標系中，作出函數

的圖象和直線，它們相交于(－1，1)和(1，1)兩點，由，得或.

20.函數y=|x²―1|+1的圖象與函數y=2 ^x的圖象交點的個數為(   )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

20.解：本題如果圖象畫得不準確，很容易誤選(B)；答案為(C).育網》http://www.7caiedu.cn

2009屆新課標數學考點預測（24）：填空題的解法

數學填空題是一種只要求寫出結果，不要求寫出解答過程的客觀性試題，是高考數學中的三種�？碱}型之一，填空題的類型一般可分為：完形填空題、多選填空題、條件與結論開放的填空題. 這說明了填空題是數學高考命題改革的試驗田，創新型的填空題將會不斷出現. 因此，我們在備考時，既要關注這一新動向，又要做好應試的技能準備.解題時，要有合理的分析和判斷，要求推理、運算的每一步驟都正確無誤，還要求將答案表達得準確、完整. 合情推理、優化思路、少算多思將是快速、準確地解答填空題的基本要求.

數學填空題，絕大多數是計算型(尤其是推理計算型)和概念(性質)判斷型的試題，應答時必須按規則進行切實的計算或者合乎邏輯的推演和判斷。求解填空題的基本策略是要在“準”、“巧”、“快”上下功夫。下面是一些常用的方法。

（一）定義法

有些問題直接去解很難奏效，而利用定義去解可以大大地化繁為簡，速達目的。

例1. 的值是_________________。

解：從組合數定義有：

又  ，代入再求，得出466。

例2. 到橢圓右焦點的距離與到定直線x＝6距離相等的動點的軌跡方_______________。

解：據拋物線定義，結合圖知：

軌跡是以（5，0）為頂點，焦參數P＝2且開口方向向左的拋物線，故其方程為：

（二）直接法

這是解填空題的基本方法，它是直接從題設條件出發、利用定理、性質、公式等知識，通過變形、推理、運算等過程，直接得到結果。

例3設其中i，j為互相垂直的單位向量，又，則實數m =              。

解：∵，∴∴，而i，j為互相垂直的單位向量，故可得∴。

例4(08廣東卷)已知（是正整數）的展開式中，的系數小于

120，則         ．

解：按二項式定理展開的通項為，我們知道的系數為，即，也即，而是正整數，故只能取1。

例5現時盛行的足球彩票，其規則如下：全部13場足球比賽，每場比賽有3種結果：勝、平、負，13長比賽全部猜中的為特等獎，僅猜中12場為一等獎，其它不設獎，則某人獲得特等獎的概率為         。

解：由題設，此人猜中某一場的概率為，且猜中每場比賽結果的事件為相互獨立事件，故某人全部猜中即獲得特等獎的概率為。

（三）特殊化法

當填空題的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的不定量用特殊值代替，即可以得到正確結果。

例6 在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c。若a、b、c成等差數列，則             。

解：特殊化：令，則△ABC為直角三角形，，從而所求值為。

例7 過拋物線的焦點F作一直線交拋物線交于P、Q兩點，若線段PF、FQ的長分別為p、q，則           。

分析：此拋物線開口向上，過焦點且斜率為k的直線與拋物線均有兩個交點P、Q，當k變化時PF、FQ的長均變化，但從題設可以得到這樣的信息：盡管PF、FQ不定，但其倒數和應為定值，所以可以針對直線的某一特定位置進行求解，而不失一般性。

解：設k = 0，因拋物線焦點坐標為把直線方程代入拋物線方程得，∴，從而。

例8  求值         。

分析：題目中“求值”二字提供了這樣信息：答案為一定值，于是不妨令，得結果為。

例9如果函數f(x)=x²+bx+c對任意實數t都有f(2+t)=f(2-t)，那么f(1),f(2),f(4)的大小關系是 

解：  由于f(2+t)=f(2-t)，故知f(x)的對稱軸是x=2�？扇√厥夂瘮礷(x)=(x-2)²,即可求得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。∴f(2)<f(1)<f(4)。

 例10已知等差數列{a_n}的公差d≠0，且a₁,a₃,a₉成等比數列，則的值是       。

解：  考慮到a₁,a₃,a₉的下標成等比數列，故可令a_n=n滿足題設條件，于是=。

例11橢圓+=1的焦點為F₁、F₂，點P為其上的動點，當∠F₁PF₂為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是               。

解：  設P(x,y)，則當∠F₁PF₂=90°時，點P的軌跡方程為x²+y²=5，由此可得點P的橫坐標x=±，又當點P在x軸上時，∠F₁PF₂=0；點P在y軸上時，∠F₁PF₂為鈍角，由此可得點P橫坐標的取值范圍是-<x<。

（四）數形結合法

對于一些含有幾何背景的填空題，若能數中思形，以形助數，則往往可以簡捷地解決問題，得出正確的結果。

例12   如果不等式的解集為A，且，那么實數a的取值范圍是          。

解：根據不等式解集的幾何意義，作函數和函數的圖象（如圖），從圖上容易得出實數a的取值范圍是。

例13  已知實數x、y滿足，則的最大值是         。

解：可看作是過點P（x，y）與M（1，0）的直線的斜率，其中點P的圓上，如圖，當直線處于圖中切線位置時，斜率最大，最大值為。

（五）等價轉化法

通過“化復雜為簡單、化陌生為熟悉”，將問題等價地轉化成便于解決的問題，從而得出正確的結果。

例14（08湖南理）設函數存在反函數,且函數的圖象過點(1,2),

則函數的圖象一定過點      .

解：由函數的圖象過點(1,2)得: 即函數過點 則其反函數過點所以函數的圖象一定過點

例15  不等式的解集為（4，b），則a=           ，b=          。

解：設，則原不等式可轉化為：∴a > 0，且2與是方程的兩根，由此可得：。

例16  不論k為何實數，直線與曲線恒有交點，則實數a的取值范圍是        。

解：題設條件等價于點（0，1）在圓內或圓上，或等價于點（0，1）到圓，

∴。

例17  函數單調遞減區間為             。

解：易知∵y與y²有相同的單調區間，而，∴可得結果為。

    總之，能夠多角度思考問題，靈活選擇方法，是快速準確地解數學填空題的關鍵。

（六） 淘汰法

當全部情況為有限種時，也可采用淘汰法。

例18. 已知，則與同時成立的充要條件是____________。

解：按實數b的正、負分類討論。

當b>0時，而等式不可能同時成立；

當b＝0時，無意義；

當b<0時，若a<0，則兩不等式不可能同時成立，以上三種情況均被淘汰，故只能為a>0，b<0，容易驗證，這確是所要求的充要條件。

跟蹤訓練：

1已知函數，則

講解　由，得，應填4.

2． 集合的真子集的個數是

講解　，顯然集合M中有90個元素，其真子集的個數是，應填.

3.如果函數，那么　

講解　容易發現，這就是我們找出的有用的規律，于是

    原式＝，應填

4.　如果函數的圖象關于直線對稱，那么

講解　，其中.

是已知函數的對稱軸，

，

即　　　　，

于是　　　　　故應填 .

5.以下四個命題：

①

②

③凸n邊形內角和為
④凸n邊形對角線的條數是

其中滿足“假設時命題成立，則當n=k+1時命題也成立’’.但不滿足“當（是題中給定的n的初始值）時命題成立”的命題序號是　　　　　　　.

講解 ①當n=3時，，不等式成立；

②       當n=1時，，但假設n=k時等式成立，則

　　　；

③　，但假設成立，則

④　，假設成立，則

故應填②③.

　6．某商場開展促銷活動，設計一種對獎券，號碼從000000到999999. 若號碼的奇位數字是不同的奇數，偶位數字均為偶數時，為中獎號碼，則中獎面（即中獎號碼占全部號碼的百分比）為　　　　　　　.

    講解 　中獎號碼的排列方法是：　奇位數字上排不同的奇數有種方法，偶位數字上排偶數的方法有，從而中獎號碼共有種，于是中獎面為

    故應填

7．  的展開式中的系數是

_{講解　由知，所求系數應為的x項的系數與項的系數的和，即有}

_{故應填1008.}

  8． 過長方體一個頂點的三條棱長為3、4、5, 且它的八個頂點都在同一球面上，這個球的表面積是________.

講解　長方體的對角線就是外接球的直徑,　即有

從而　　　，故應填

9． 如右圖，E、F分別是正方體的面ADD₁A₁、面BCC₁B₁的中心，則四邊形BFD₁E在該正方體的面上的射影可能是　　　　　.（要求：把可能的圖的序號都填上）

講解  因為正方體是對稱的幾何體，所以四邊形BFD₁E在該正方體的面上的射影可分為：上下、左右、前后三個方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB₁A₁、面ADD₁A₁上的射影.

四邊形BFD₁E在面ABCD和面ABB₁A₁上的射影相同，如圖2所示；

四邊形BFD₁E在該正方體對角面的ABC₁D₁內，它在面ADD₁A₁上的射影顯然是一條線段，如圖3所示.  故應填23.

    10． 橢圓上的一點P到兩焦點的距離的乘積為m，則當m取最大值時，點P的坐標是_____________________.

講解  記橢圓的二焦點為，有

則知        

    顯然當，即點P位于橢圓的短軸的頂點處時，m取得最大值25.

    故應填或

  11．  一只酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的函數解析式是，在杯內放一個玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑r的取值范圍是___________.

講解   依拋物線的對稱性可知，大圓的圓心在y軸上，并且圓與拋物線切于拋物線的頂點，從而可設大圓的方程為 

    由                  

消去x，得                                          （*）

解出                 或

    要使（*）式有且只有一個實數根，只要且只需要即

    再結合半徑，故應填

高考題選：

1、（07寧海）雙曲線的頂點到漸近線的距離為2，焦點到漸近線的距離為6，則該雙曲線的離心率為　　

【答案】：3

【分析】：如圖，過雙曲線的頂點A、焦點F分別

向其漸近線作垂線，垂足分別為B、C，

則：

2、（07寧海文）設函數為偶函數，則　　　　

【答案】：-1

【分析】：

（07寧海理）設函數f(x)=[(x+1)(x+a)]/x為奇函數，則　　　　

【答案】：-1

【分析】：

3、（07寧海文）是虛數單位，　　　　　（用的形式表示，）

【答案】：

【分析】：

（07寧海理）是虛數單位，（－5+10i)/(3+4i)=　　　　　（用的形式表示，）

【答案】：

【分析】：

4、（07寧海文）已知是等差數列，，其前5項和，則其公差　　　　

【答案】：

【分析】：

（07寧海理）某校安排5個班到4個工廠進行社會實踐，每個班去一個工廠，每個工廠至少安排一個班，不同的安排方法共有                          種（用數字作答）

【答案】：240

【分析】：由題意可知有一個工廠安排2個班，另外三個工廠每廠一個班，

         共有種安排方法。

5、（07廣東文）已知拋物線關于x軸對稱，頂點在原點O，且過點P(2,4)，則該拋物線的方程是        

【解析】設所求拋物線方程為,依題意,故所求為.

（07廣東理）在直角坐標系xOy中，有一定點A（2，1）。若線段OA的垂直平分線過拋物線 的焦點，則該拋物線的準線方程是_____________。

答案：;

解析：OA的垂直平分線的方程是y-，令y=0得到x=.

6、（07廣東文）函數f(x)=xlnx(x>0)的單調遞增區間是          

【解析】由可得,答案:.

（07廣東理）如果一個凸多面體是n棱錐，那么這個凸多面體的所有頂點所確定的直線共有________條，這些直線中共有對異面直線，則；f(n)=_______________(答案用數字或n的解析式表示)

答案：;8;n(n-2)。

解析：;;

7、（07廣東文）數列{a_n}的前n項和S_n=n²-9n，則其通項a_n=        ；若它的第k項滿足5<a_k<8，則k=   

【解析】{an}等差,易得,解不等式,可得

（07廣東理）若向量滿足，的夾角為60°，則??=______

答案：；

解析：，

8、（07廣東）甲、乙兩個袋子中均裝有紅、白兩種顏色的小球，這些小球除顏色外完全相同，其中甲袋裝有4個紅球、2個白球，乙袋裝有1個紅球、5個白球�，F分別從甲、乙兩袋中各隨機抽取1個球，則取出的兩球是紅球的概率為______(答案用分數表示)

答案：

解析：；

9、（07山東文）設函數則       

【答案】【分析】：

。

10、（07山東文）函數的圖象恒過定點，若點在直線上，則1/m+1/n的最小值為        

【答案】:4【分析】：函數的圖象恒過定點，

，，，

（方法一）：， .

（方法二）：

11.（07山東理）函數的圖象恒過定點，若點在直線上，其中，則1/m+2/n的最小值為_______.

【答案】: 8。

【分析】：函數的圖象恒過定點，，，，

12、（07山東文）當時，不等式恒成立，則的取值范圍是          ．

【答案】【分析】：構造函數：。由于當時，

不等式恒成立。則，即

。解得：。

13.（07山東理）設D是不等式組x+2y≤10且2x+y≥3且0≤x≤4且y≥1表示的平面區域，則D中的點

P(x,y)到直線x+y=10距離的最大值是_______s

【答案】:

【分析】：畫圖確定可行域，從而確定到直線直線距離的最大為

14、（07山東文）與直線和曲線都相切的半徑最小的圓的標準方程是____________________

【答案】:.

【分析】：曲線化為，其圓心到直線的距離為所求的最小圓的圓心在直線上，其到直線的距離為，圓心坐標為標準方程為。

15.（07山東理）設是坐標原點，是拋物線的焦點，是拋物線上的一點，與軸正向的夾角為，則為________.

【答案】: 【分析】：過A 作軸于D，令，則，，。

16.(08四川延考)函數 的反函數為        。

【答案】:，所以反函數，

17.(08四川延考)設等差數列的前項和為，且。若，則     。

【答案】:，取特殊值

令，所以

18.(08四川延考)已知函數 在單調增加，在單調減少，則      。

【答案】:由題意

又，令得。（如，則，與已知矛盾）

19.(08四川延考)已知，為空間中一點，且，則直線與平面

所成角的正弦值為         。

【答案】:由對稱性點在平面內的射影必在的平分線上作于，連結則由三垂線定理，

設，又,所以，因此直線與平面所成角的正弦值

20（08湖南理）

.對有n(n≥4)個元素的總體進行抽樣，先將總體分成兩個子總體

和 (m是給定的正整數，且2≤m≤n-2),再從

每個子總體中各隨機抽取2個元素組成樣本.用表示元素i和j同時出現在樣

本中的概率，則=          ; 所有 (1≤i＜j≤的和等于           .

【答案】:第二空可分:

①當 時, ;

②當 時, ;

③當時, ;

所以

本資料來源于《七彩教育網》http://www.7caiedu.cn

2009屆新課標數學考點預測（25）解答題的解法

在高考數學試卷中，解答題包括計算題、證明題、應用題等。其基本架構是：給出一定的題設(即已知條件)，然后提出一定的要求(即要達到的目標)，讓考生解答�？忌�解答時，應把已知條件作為出發點，運用有關的數學知識和方法，進行推理、演繹或計算，最后達到所要求的目標，同時要將整個解答過程的主要步驟和經過，有條理、合邏輯、完整地陳述清楚。 縱觀近幾年高考命題情況，可以發現，主觀題在高考卷中的考查呈現以下特點：

(1)對基礎知識的考查，要求全面又突出重點，注重學科的內在聯系和知識的綜合。

(2)對數學思想和方法的考查，數學思想與方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，在高考中，常將它們與數學知識的考查結合進行考查時，從學科整體意義和思想含義上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧。

(3) 對能力的考查，以邏輯思維能力為核心，全面考查各種能力，強調探究性、綜合性、應用性，突出數學試題的能力立意，強化對素質教育的正確導向。

(4) 在強調綜合性的同時，注重試題的層次性，合理調控綜合程度，堅持多角度、多層次的考查。

(5)出現一些背景新穎的創新題、開放題、富有時代特色的應用題，并有越演越烈的趨勢.

【例1】已知函數

   （Ⅰ）求函數f(x)的最小正周期和最小值；

   （Ⅱ）在給出的直角坐標系中，

畫出函數上的圖象.

命題意圖：三角與三角函數的綜合問題主要考點是三角變換、圖像、解析式、向量或三角應用題，重點是三角、向量基本知識的綜合應用能力。數形結合、函數與方程思想、化歸轉化的思想是解決三角函數問題時經常使用的基本思想方法。屬于基礎題或中檔題的層面，高考中一定要盡量拿滿分。

【分析及解】（Ⅰ）

      所以，的最小正周期，最小值為

（Ⅱ）列表：

x

0

2

0

－2

0

故畫出函數上的圖象為

評注：三角函數的訓練應當立足課本，緊扣高考真題，不需要加深加寬．解答三角函數考題的關鍵是進行必要的三角恒等變形，其解題通法是：發現差異（角度，函數，運算），尋找聯系（套用、變用、活用公式，技巧，方法），合理轉化（由因導果，由果探因）．其解題技巧有：常值代換：特別是用“1”的代換；項的分拆與角的配湊；化弦（切）法；降次與升次；引入輔助角：asinθ+bcosθ=sin(θ+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號確定，角的值由確定．此類題目的特點是主要考查三角函數的概念、周期性、單調性、有界性、“五點法”作圖，以及求三角函數的最大(最小)值等.

跟蹤訓練1．（本小題滿分12分）設函數,其中向量, ,x∈R.

   （I）求的值及函數的最大值；

   （II）求函數的單調遞增區間.

【例2】如圖所示，質點P在正方形ABCD的四個頂點上按逆時針方向前進. 現在投擲一個質地均勻、每個面上標有一個數字的正方體玩具，它的六個面上分別寫有兩個1、兩個2、兩個3一共六個數字. 質點P從A點出發，規則如下：當正方體上底面出現的數字是1，質點P前進一步（如由A到B）；當正方體上底面出現的數字是2，質點P前兩步（如由A到C），當正方體上底面出現的數字是3，質點P前進三步（如由A到D）. 在質點P轉一圈之前連續投擲，若超過一圈，則投擲終止.

（I）求點P恰好返回到A點的概率；

（II）在點P轉一圈恰能返回到A點的所有結果中，

用隨機變量ξ表示點P恰能返回到A點的投擲次數，求ξ的數學期望.

命題意圖：概率與統計的綜合問題主要考點是概率、分布列、期望，文科重點是概率，理科重點是概率、分布列、期望，考查從摸球、擲骰子、體育活動、射擊及生產生活中抽象出的數學模型的能力，分類討論的思想。屬中檔題的范疇。從命題者立意看，命題材料源于課本，貼近考生，貼近生活，背景公平，設問新穎。解題時，多讀題目，多審題，注意語言轉換是關鍵。

【分析及解】（I）投擲一次正方體玩具，上底面每個數字的出現都是等可能的，其概率為因為只投擲一次不可能返回到A點；若投擲兩次點P就恰好能返回到A點，則上底面出現的兩個數字應依次為：（1，3）、（3，1）、（2，2）三種結果，其概率為，若投擲三次點P恰能返回到A點，則上底面出現的三個數字應依次為：（1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）三種結果，其概率為

       若投擲四次點P恰能返回到A點，則上底面出現的四個數字應依次為：（1，1，1，1）

       其概率為所以，點P恰好返回到A點的概率為：

   （II）在點P轉一圈恰能返回到A點的所有結果共有以上問題中的7種，

       因為，

跟蹤訓練2．（本小題滿分12分）某電視臺舉行電視奧運知識大獎賽，比賽分初賽和決賽兩部分．為了增加節目的趣味性，初賽采用選手選一題答一題的方式進行，每位選手最多有5次選題答題的機會，選手累計答對3題或答錯3題即終止其初賽的比賽，答對3題者直接進入決賽，答錯3題者則被淘汰．已知選手甲答題的正確率為．

   （Ⅰ）求選手甲可進入決賽的概率；

   （Ⅱ）設選手甲在初賽中答題的個數為，試寫出的分布列，并求的數學期望．

【例3】如圖所示，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，

PD=AD=2.

    （1）求異面直線PC與BD所成的角；

    （2）在線段PB上是否存在一點E，使PC⊥平面ADE？

        若存在，確定E點的位置；若不存在，說明理由.

命題意圖：立體幾何問題主要考點是底面為四邊形的柱體或錐體或折疊問題，主要考距離、二面角、線面垂直、平行。重點是處理空間線、面關系的能力，運動的觀點、探究、開放的思想（存在性問題）。從這個角度來看，變化并不大，題目的難度也不大，屬中檔題的范疇，但是還要關注立體幾何試題命題的一些變化趨勢，關注試題的創新。因此，立體幾何的復習要在強化常規題訓練和關注試題創新這兩個方面下功夫。本題一道已從解決現成問題發展為探究問題的存在性,解決問題的嘗試性。

【分析及解】如圖建立空間直角坐標系，則D（0，0，0），

A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），B（2，2，0），

  （1）

   ∴

   ∴ ，∴異面直線PC與BD所成的角為60°

（2）假設在PB上存在E點，使PC⊥平 ADE，記

  ∴ 若PC⊥平面ADE，則有PC⊥AE，

即，∴    

∴存在E點且E為PB的中點時，PC⊥平面ADE.

評注：立體幾何的試題考查的核心和熱點仍然是考查空間圖形的線面關系及幾何量的計算，即圍繞平行，垂直，距離和角的問題進行命題設計，其中平行和垂直是線面的位置關系，距離和角是線面的數量關系，在試題設計時，仍然是以正方體，長方體，棱柱，棱錐為載體，在解法上，則注意解法的多樣化，對于一道立體幾何試題，往往既能用傳統方法求解又能用向量方法求解，有的題目可以用兩種方法結合求解。有些立體幾何試題,已經不是單一的幾何背景,還涉及到解析幾何,方程,不等式,最值,概率等其它數學分支,從而考查綜合運用數學知識和技能的靈活性.

跟蹤訓練3．（本小題共12分）在三棱錐中，，

.

   （Ⅰ）證明：⊥；

   （Ⅱ）求二面角A-BC-S的大��；

   （Ⅲ）求直線AB與平面SBC所成角的正弦值.

【例4】已知

   （1）若存在單調遞減區間，求的取值范圍；

   （2）若時，求證成立；

   （3）利用（2）的結論證明：若

命題意圖：函數與導數的綜合問題主要考點是函數、導數、單調性、極值、切線、不等式，重點是三次或含自然對數的函數的導數、單調性、極值、切線、不等式（主要是恒成立、能成立或利用導數證明不等式問題）。屬高檔題的范疇，考查交匯知識綜合處理能力。解題中需用到函數與方程思想、分類討論思想、數形結合思想、轉化與劃歸思想

【分析及解】（1）

  ，有單調減區間，∴ 有解

    ， ∴有解

    ①時合題意

②時，，即， ∴的范圍是

   （2）設， ，

0

+

0

-

最大值

    ∴有最大值0，∴恒成立

即成立

（3）

，∴求證成立

評注：導數是研究函數的工具，導數進入新教材之后，給函數問題注入了生機和活力，開辟了許多解題新途徑，拓展了高考對函數問題的命題空間。所以把導數與函數綜合在一起是順理成章的事情，對函數的命題已不再拘泥于一次函數，二次函數，反比例函數，指數函數，對數函數等，對研究函數的目標也不僅限于求定義域，值域，單調性，奇偶性，對稱性，周期性等，而是把高次多項式函數，分式函數，指數型，對數型函數，以及初等基本函數的和、差、積、商都成為命題的對象，試題的命制往往融函數，導數，不等式，方程等知識于一體，通過演繹證明，運算推理等理性思維，解決單調性，極值，最值，切線，方程的根，參數的范圍等問題，這類題難度很大，綜合性強，內容新，背景新，方法新，是高考命題的豐富寶藏。通過構造函數，以導數為工具，證明不等式，解題技巧是構造輔助函數，把不等式的證明轉化為利用導數研究函數的單調性或求最值，從而證得不等式，而如何根據不等式的結構特征構造一個可導函數是用導數證明不等式的關鍵。

跟蹤訓練4．（本小題滿分12分）已知函數

   （I）當的單調區間和極值；

   （II）若函數在[1，4]上是減函數，求實數a的取值范圍.

五、圓錐曲線的綜合問題

【例5】已知拋物線，過定點的直線交拋物線于A、B兩點.

   （Ⅰ）分別過A、B作拋物線的兩條切線，A、B為切點，求證：這兩條切線的交點在定直線上.

   （Ⅱ）當時，在拋物線上存在不同的兩點P、Q關于直線對稱，弦長|PQ|中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用表示），若不存在，請說明理由.

命題意圖：圓錐曲線的綜合問題主要考點是雙曲線、拋物線、橢圓相結合，重點是圓錐曲線

的統一定義，點、弦、面積、取值范圍、定值，函數與方程思想、數形結合思想。

【分析及解】(Ⅰ)由，得，設

過點A的切線方程為：，即

同理求得過點B的切線方程為：

∵直線PA、PB過，∴,

∴點在直線上，∵直線AB過定點，

∴，即∴兩條切線PA、PB的交點在定直線上.

   （Ⅱ） 設，設直線的方程為：，

則直線的方程為：，

，

，              ①

設弦PQ的中點，則

∵弦PQ的中點在直線上，∴，

即      ②

②代入①中，得            ③

由已知，當時， 弦長|PQ|中不存在最大值.

當時，這時，此時，弦長|PQ|中存在最大值，

即當時，弦長|PQ|中的最大值為

評注：圓錐曲線的試題涉及到函數、方程、導數、不等式、三角、向量、數列等各章節的知識，常把代數、三角、向量、數列、導數等知識交匯在一起成為典型題。而求曲線方程、弦長、角、面積、最值、軌跡、參數的值或取值范圍，證明某種關系、證明定值、探索型、存在性討論等問題是�？嫉念}型，具有一定的綜合性和靈活性，計算也較復雜，需要有較強的綜合能力。解題中需用到函數與方程思想、分類討論思想、數形結合思想、轉化與劃歸思想。

跟蹤訓練5．（本小題滿分12分）

已知橢圓C:（a＞b＞0），點F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，點P(2,)在直線x=上，且|F₁F₂|=|PF₂|,直線:y=kx+m為動直線，且直線與橢圓C交于不同的兩點A、B。

   （Ⅰ）求橢圓C的方程；

   （Ⅱ）若在橢圓C上存在點Q，滿足（O為坐標原點），求實數的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當取何值時，△ABO的面積最大，并求出這個最大值．

六、數列的綜合問題

【例6】數列{a_n}，a₁=1，

   （1）求a₂，a₃的值；

   （2）是否存在常數，使得數列是等比數列，若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

   （3）設，

證明：當

命題意圖：數列的綜合問題主要考點是數列、導數、不等式、數學歸納法，重點是綜合、靈活運用數學知識分析、解決問題的能力，充分體現考生的綜合數學素質。

解：（1）

   （2）設，

即

故

∴

又  使得數列 是等比數列

（3）證明：由（1）得

∴，故

∵

∴

，現證

當n=2時，，

故n=2時不等式成立，當得

∵

評注：數列解答題的命題熱點是與不等式交匯,主要是呈現遞推關系的綜合性試題，其中,以函數與數列、不等式為命題載體,有著高等數學背景的數列解答題是未來高考命題的一個新的亮點,而命題的冷門則是數列的應用性解答題.

跟蹤訓練6．（本小題滿分12分）在直角坐標平面上有一點列 對一切正整數n，點P_n在函數的圖象上，且P_n的橫坐標構成以為首項，－1為公差的等差數列{x_n}.

   （1）求點P_n的坐標；

   （2）設拋物線列C₁，C₂，C₃，…，C_n，…中的每一條的對稱軸都垂直于x軸，拋物線C_n的頂點為P_n，且過點D_n（0，）.記與拋物線C_n相切于點D_n的直線的斜率為k_n，求

   （3）設等差數列的任一項，其中是中的最大數，，求數列的通項公式.