17. 某企業為打入國際市場，決定從A、B兩種產品中只選擇一種進行投資生產．已知投資生產這兩種產品的有關數據如下表：（單位：萬美元）

項 目

類 別

年固定

成本

每件產品

成本

每件產品

銷售價

每年最多可

生產的件數

A產品

20

m

10

200

B產品

40

8

18

120

其中年固定成本與年生產的件數無關，m為待定常數，其值由生產A產品的原材料價格決定，預計．另外，年銷售件B產品時需上交萬美元的特別關稅．假設生產出來的產品都能在當年銷售出去．

  （Ⅰ）寫出該廠分別投資生產A、B兩種產品的年利潤與生產相應產品的件數之間的函數關系并指明其定義域；

（Ⅱ）如何投資才可獲得最大年利潤？請你做出規劃．

18. 中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的焦距為2，兩準線問的距離為10．設A(5,0)，

  B(1，0)

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點A作直線與橢圓C只有一個公共點D，求過B，D兩點，且以AD為切線的圓

    的方程；

(3)過點A作直線l交橢圓C于P，Q兩點，過點P作x軸的垂線交橢圓C于另一點S．

    若=t（t＞1），求證：=t

19. 已知函數，（為常數）．函數定義為：對每個給定的實數，

（1）求對所有實數成立的充分必要條件（用表示）；

（2）設是兩個實數，滿足，且．若，求證：函數在區間上的單調增區間的長度之和為（閉區間的長度定義為）

20. 已知數列中，且點在直線上。

 (1)求數列的通項公式;

(2)若函數求函數的最小值；

 (3)設表示數列的前項和。試問：是否存在關于的整式，使得

對于一切不小于2的自然數恒成立？ 若存在，寫出的解析式，并加以證明；若不存在，試說明理由。

試題答案

1.3+i    2、  3.  （1,0）   4.    5. 0  6.   7. 168  8.  5049  

9.    10.    11. 0或-2   12.    13. .   14. 2  

15. 解：（1）由已知條件得：          

 所以，                                      

又 ，所以                         

（2）∵，由正弦定理，得，且

所以有，                  

整理得：，從而有：

．                           

16. 證明:因為∠ABC=90°，AD∥BC，所以AD⊥AB.

而平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB平面ABCD=AB,

所以AD⊥平面PAB,  所以AD⊥PA.                      

同理可得AB⊥PA.                     

由于AB、AD平面ABCD，且ABAD=C,

所以PA⊥平面ABCD.                                         

（2）解:（方法一）不平行.                        

證明：假定直線l∥平面ABCD,

由于l平面PCD，且平面PCD平面ABCD=CD,  所以∥CD. 

同理可得l∥AB, 所以AB∥CD.                               

這與AB和CD是直角梯形ABCD的兩腰相矛盾,

故假設錯誤，所以直線l與平面ABCD不平行.                 

（方法二）因為梯形ABCD中AD∥BC,

所以直線AB與直線CD相交，設ABCD=T.                   

由TCD，CD平面PCD得T平面PCD.

同理T平面PAB.                                        

即T為平面PCD與平面PAB的公共點，于是PT為平面PCD與平面PAB的交線.

所以直線與平面ABCD不平行.                                

17. 解：（Ⅰ）由年銷售量為件，按利潤的計算公式，有生產A、B兩產品的年利潤分別為：

       且

（Ⅱ），，，為增函數，

時，生產A產品有最大利潤為（萬美元）

又時，生產B產品

有最大利潤為460（萬美元）                            

     現在我們研究生產哪種產品年利潤最大，為此，我們作差比較：

    所以：當時，投資生產A產品200件可獲得最大年利潤；

          當時，生產A產品與生產B產品均可獲得最大年利潤；

          當時，投資生產B產品100件可獲得最大年利潤

18. 解：（1）設橢圓的標準方程為

依題意得：，得   ∴  所以，橢圓的標準方程為．

（2）設過點的直線方程為：，代入橢圓方程得;

  (*)

依題意得：，即 

得：，且方程的根為  

當點位于軸上方時，過點與垂直的直線與軸交于點，

直線的方程是：，  

所求圓即為以線段DE為直徑的圓，故方程為：

同理可得：當點位于軸下方時，圓的方程為：．

（3）設，由=得：，代入

（**）    要證=，即證

由方程組（**）可知方程組（1）成立,(2)顯然成立．∴=

19. 解：（1）由的定義可知，（對所有實數）等價于

（對所有實數）這又等價于，即

對所有實數均成立.        （*）

  由于的最大值為，

  故（*）等價于，即，這就是所求的充分必要條件

（2）分兩種情形討論

     （i）當時，由（1）知（對所有實數）

則由及易知，

再由的單調性可知，

函數在區間上的單調增區間的長度

為（參見示意圖1）

（ii）時，不妨設，則，于是

   當時，有，從而；

當時，有

從而  ；

當時，，及，由方程

      解得圖象交點的橫坐標為

                          ⑴

顯然，

這表明在與之間。由⑴易知

綜上可知，在區間上，   （參見示意圖2）

故由函數及的單調性可知，在區間上的單調增區間的長度之和為，由于，即，得

          ⑵

故由⑴、⑵得 

20. 解：（1）由點P在直線上，

即，

且，數列{}是以1為首項，1為公差的等差數列

   ，同樣滿足，所以

  （2）

     所以是單調遞增，故的最小值是

（3），可得，

     ，

……

，n≥2

故存在關于n的整式g（x）=n,使得對于一切不小于2的自然數n恒成立.