題目列表(包括答案和解析)
在△中,∠
,∠
,∠
的對邊分別是
,且
.
(1)求∠的大小;(2)若
,
,求
和
的值.
【解析】第一問利用余弦定理得到
第二問
(2) 由條件可得
將 代入 得 bc=2
解得 b=1,c=2 或 b=2,c=1 .
設橢圓的左、右頂點分別為
,點
在橢圓上且異于
兩點,
為坐標原點.
(Ⅰ)若直線與
的斜率之積為
,求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若,證明直線
的斜率
滿足
【解析】(1)解:設點P的坐標為.由題意,有
①
由,得
,
由,可得
,代入①并整理得
由于,故
.于是
,所以橢圓的離心率
(2)證明:(方法一)
依題意,直線OP的方程為,設點P的坐標為
.
由條件得消去
并整理得
②
由,
及
,
得.
整理得.而
,于是
,代入②,
整理得
由,故
,因此
.
所以.
(方法二)
依題意,直線OP的方程為,設點P的坐標為
.
由P在橢圓上,有
因為,
,所以
,即
③
由,
,得
整理得
.
于是,代入③,
整理得
解得,
所以.
設定義在(0,+)上的函數
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)若曲線在點
處的切線方程為
,求
的值。
【解析】 (Ⅰ)因,故
,取等號的條件是
,即
。
(Ⅱ)因,由
,求得
,又由
,可得
,解得
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)證明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)設E為棱PA上的點,滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長.
【解析】解法一:如圖,以點A為原點建立空間直角坐標系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)證明:易得,
于是
,所以
(2) ,
設平面PCD的法向量
,
則,即
.不防設
,可得
.可取平面PAC的法向量
于是
從而
.
所以二面角A-PC-D的正弦值為.
(3)設點E的坐標為(0,0,h),其中,由此得
.
由,故
所以,,解得
,即
.
解法二:(1)證明:由,可得
,又由
,
,故
.又
,所以
.
(2)如圖,作于點H,連接DH.由
,
,可得
.
因此,從而
為二面角A-PC-D的平面角.在
中,
,由此得
由(1)知
,故在
中,
因此所以二面角
的正弦值為
.
(3)如圖,因為,故過點B作CD的平行線必與線段AD相交,設交點為F,連接BE,EF. 故
或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故
.在
中,
故
在中,由
,
,
可得.由余弦定理,
,
所以.
已知數列是各項均不為0的等差數列,公差為d,
為其前n項和,且滿足
,
.數列
滿足
,
,
為數列
的前n項和.
(1)求數列的通項公式
和數列
的前n項和
;
(2)若對任意的,不等式
恒成立,求實數
的取值范圍;
(3)是否存在正整數,使得
成等比數列?若存在,求出所有
的值;若不存在,請說明理由.
【解析】第一問利用在中,令n=1,n=2,
得 即
解得,,
[
又時,
滿足
,
,
第二問,①當n為偶數時,要使不等式恒成立,即需不等式
恒成立.
,等號在n=2時取得.
此時
需滿足
.
②當n為奇數時,要使不等式恒成立,即需不等式
恒成立.
是隨n的增大而增大, n=1時
取得最小值-6.
此時
需滿足
.
第三問,
若成等比數列,則
,
即.
由,可得
,即
,
.
(1)(法一)在中,令n=1,n=2,
得 即
解得,,
[
又時,
滿足
,
,
.
(2)①當n為偶數時,要使不等式恒成立,即需不等式
恒成立.
,等號在n=2時取得.
此時
需滿足
.
②當n為奇數時,要使不等式恒成立,即需不等式
恒成立.
是隨n的增大而增大, n=1時
取得最小值-6.
此時
需滿足
.
綜合①、②可得的取值范圍是
.
(3),
若成等比數列,則
,
即.
由,可得
,即
,
.
又,且m>1,所以m=2,此時n=12.
因此,當且僅當m=2,
n=12時,數列中的
成等比數列
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