已知圓柱OO₁底面半徑為1，高為π，ABCD是圓柱的一個軸截面．動點M從點B出發沿著圓柱的側面到達點D，其距離最短時在側面留下的曲線Γ如圖所示．將軸截面ABCD繞著軸OO₁逆時針旋轉θ（0＜θ＜π）后，邊B₁C₁與曲線Γ相交于點P．
（1）求曲線Γ長度；
（2）當θ=

π

2

時，求點C₁到平面APB的距離；
（3）是否存在θ，使得二面角D-AB-P的大小為

π

4

？若存在，求出線段BP的長度；若不存在，請說明理由．

如圖所示高腳杯的軸截面是方程為x²=2py（p＞0）的拋物線，現放一半徑為r小球到高腳杯中，若小球能落到杯子底部，則小球的半徑r的取值范圍為．