如圖，在平面直角坐標系中,拋物線y=-x²+2x+c與y鈾交于點D(0，3)。
（1）直接寫出c的值。
（2）若拋物線與x軸交于A、B兩點(點B在點A的右側)，頂點為C點,求直線BC的解析式。
（3）已知點P是直線BC上運動時的一個動點。    
①當點P在線段BC上運動時(點P不與B、C重合)，過點P作PE⊥y軸，垂足為 E，連接BE。設點P的坐標為(x，y)，△PBE的面積為S，求S與x之間的函數關系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；    
②試探索：在直線BC上是否存在點P，使得以點P為圓心、r為半徑的⊙P，既與拋物線的對稱軸相切，又與以點 C為圓心、1為半徑的⊙C外切？如果存在，試求r的值，并直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由。
[提示：二次函數y=ax²+bx+c的頂點坐標為]

（2007•攀枝花）如圖，在直角坐標系中，已知點A、B在x軸上，且B（t，0）（-1＜t＜0），等腰△ABC的頂點B在以AC為直徑的半圓D上，點E是直線OC與半圓D除點C以外的另一個交點，連接AE與BC相交于點F．又已知拋物線y=a（x²-2x）向左平移2個單位長度后點O恰與點A重合、點M恰與原點O重合，并把平移后所得拋物線記為H．
（1）求證：BF=BO；
（2）如果拋物線H還經過點F，試用含t的式子表示a；
（3）若AE經過△AOC的內心I，試求出此時經過三點A、F、O的拋物線的解析式；
（4）在（3）的條件下，問在拋物線上是否存在點P，使該點關于直線AF的對稱點在x軸上？若存在，請求出所有這樣的點的坐標；若不存在，請說明理由．