(12分)一種電腦屏幕保護畫面，只有符號“○”和“×”隨機地反復出現，每秒鐘變化一次，每次變化只出現“○”和“×”之一，其中出現“○”的概率為，出現“×”的概率為.若第次出現“○”，則a=1；出現“×”，則a=.令S=a+a+…+a.

(1)當時，求S2的概率；

(12分)某校舉行一次乒乓球比賽，在單打比賽中，甲、乙兩名同學進入決賽，根據以往經驗，單局比賽甲勝乙的概率為，本場比賽采用五局三勝制，即先勝三局者獲勝，比賽結束.設各局比賽相互間沒有影響.

(1)試求本場比賽中甲勝兩局最終乙獲勝的事件的概率；

(2)令為本場比賽的局數，求的概率分布和數學期望.

(滿分13分)已知函數

（1）求的單調區間；

（2）記在區間上的最小值為令；

①如果對一切n，不等式恒成立，求實數c的取值范圍；

②求證： 。

.(12分)
設等差數列的前項和為,已知。
（1）求數列的通項公式；
（2）令，求數列的前10項和。

(14分)設函數

（1）當時，求的最大值；

（2）令，以其圖象上任意一點為切點的切線的斜率恒成立，求實數的取值范圍；

（3）當時，方程有唯一實數解，求正數的值．