Question

如圖1，點O是正方形ABCD兩對角線的交點，分別延長OD到點G，OC到點E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE為鄰邊作正方形OEFG，連接AG，DE．

（1）求證：DE⊥AG；

（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如圖2．

①在旋轉過程中，當∠OAG′是直角時，求α的度數；

②若正方形ABCD的邊長為1，在旋轉過程中，求AF′長的最大值和此時α的度數，直接寫出結果不必說明理由．

Answer 1

【考點】幾何變換綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）延長ED交AG于點H，易證△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后運用等量代換證明∠AHE=90°即可；

（2）①在旋轉過程中，∠OAG′成為直角有兩種情況：α由0°增大到90°過程中，當∠OAG′=90°時，α=30°，α由90°增大到180°過程中，當∠OAG′=90°時，α=150°；

②當旋轉到A、O、F′在一條直線上時，AF′的長最大，AF′=AO+OF′=+2，此時α=315°．

【解答】解：（1）如圖1，延長ED交AG于點H，

∵點O是正方形ABCD兩對角線的交點，

∴OA=OD，OA⊥OD，

∵OG=OE，

在△AOG和△DOE中，

，

∴△AOG≌△DOE，

∴∠AGO=∠DEO，

∵∠AGO+∠GAO=90°，

∴∠GAO+∠DEO=90°，

∴∠AHE=90°，

即DE⊥AG；

（2）①在旋轉過程中，∠OAG′成為直角有兩種情況：

（Ⅰ）α由0°增大到90°過程中，當∠OAG′=90°時，

∵OA=OD=OG=OG′，

∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O==，

∴∠AG′O=30°，

∵OA⊥OD，OA⊥AG′，

∴OD∥AG′，

∴∠DOG′=∠AG′O=30°，

即α=30°；

（Ⅱ）α由90°增大到180°過程中，當∠OAG′=90°時，

同理可求∠BOG′=30°，

∴α=180°﹣30°=150°．

綜上所述，當∠OAG′=90°時，α=30°或150°．

②如圖3，當旋轉到A、O、F′在一條直線上時，AF′的長最大，

∵正方形ABCD的邊長為1，

∴OA=OD=OC=OB=，

∵OG=2OD，

∴OG′=OG=，

∴OF′=2，

∴AF′=AO+OF′=+2，

∵∠COE′=45°，

∴此時α=315°．

【點評】本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、銳角三角函數、旋轉變換的性質的綜合運用，有一定的綜合性，分類討論當∠OAG′是直角時，求α的度數是本題的難點．