Question

4．已知：正方形ABCD，E、F分別在BC、CD上，連結AE、AF、EF．
（1）如圖1，若∠EAF=30°，∠AEF=90°，AB=4，求EC的長．
（2）如圖2，若∠EAF=45°，連結BD分別交AF、AE于G、H．
①求證：AG²=GH•GB．
②求證：BH²+DG²=HG²．

Answer 1

分析 （1）通過相似三角形△ABE∽△ECF的對應邊成比例和解直角△AEF來求EC的長度即可；
（2）①利用相似△AGH∽△BGA的對應邊成比例得到：$\frac{AG}{BG}=\frac{HG}{AG}$，則AG²=BG•HG；
②將△AGH繞點A逆時針旋轉90°得到△AG′H，根據旋轉的性質得到：△AG′H≌△AGH，則由該全等三角形的對應邊相等推知GH=G′H，所以結合勾股定理證得結論．

解答 解：（1）如圖1，∵∠EAF=30°，∠AEF=90°，
∴cot∠EAF=$\frac{AE}{EF}$，即cot30°=$\frac{AE}{EF}$=$\sqrt{3}$．
又∵∠B=∠C，∠BAE=∠CEF（同角的余角相等），
∴△ABE∽△ECF，
∴$\frac{AB}{EC}$=$\frac{AE}{EF}$=$\sqrt{3}$．
又∵AB=$\frac{4}{EC}$=$\sqrt{3}$，
∴EC=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$；

（2）①證明：如圖2，在正方形ABCD中，∵BD是對角線，
∴∠ABD=45°，
又∠EAF=45°，
∴∠ABD=∠EAF．
又∠AGH=∠BGA，
∴△AGH∽△BGA，
∴$\frac{AG}{BG}=\frac{HG}{AG}$，
∴AG²=BG•HG；

②證明：如圖3，將△AGD繞點A順時針旋轉90°至△AG′B處，連結G′H，
易證：△AG′H≌△AGH．
得GH=G′H
又∠G′BH=45°+45°=90°
故BG′²+BH²=G′H²
即DG²+BH²=GH²．

點評 本題是四邊形綜合題型，主要利用了正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，難點在于利用旋轉變換作輔助線構造出全等三角形．