Question

12．如圖1，B（-1，0），D（0，2），經過點C（3，0）的直線EC交直線BD于A，交y軸于E，使AD=AE
（1）求證：AB=AC
（2）如圖2，△ABC沿x軸方向平行移動時，AB交y軸于D，直線DF交AC延長線于F，交x軸于G且BD=CF，求證：OG長度不變．

Answer 1

分析 （1）根據等腰三角形的性質得到∠AED=∠ADE，由于∠ECO+∠AED=90°，∠DBO+∠BDO=90°，∠ADE=∠BDO，求得∠ECO=∠DBO，根據等腰三角形的判定即可得到結論；
（2）過F作FE⊥x軸于E，由（1）知∠1=∠2，等量代換得到1=∠3，推出△BOD≌△CEF，根據全等三角形的性質得到BO=CE，DO=EF，通過△DOG≌△FEG，得到OG=GE，于是得到OG=$\frac{1}{2}$OE，即可得到結論．

解答 解：（1）∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE，
∵∠ECO+∠AED=90°，∠DBO+∠BDO=90°，∠ADE=∠BDO，
∴∠ECO=∠DBO，
∴AB=AC；

（2）過F作FE⊥x軸于E，由（1）知∠1=∠2，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
在△BDO與△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{∠BOD=∠CEF}\\{BD=CF}\end{array}\right.$，
∴△BOD≌△CEF，
∴BO=CE，DO=EF，
在△DOG與△FEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DGO=∠FGE}\\{∠DOG=∠FEG}\\{DO=EF}\end{array}\right.$，
∴△DOG≌△FEG，
∴OG=GE，
∴OG=$\frac{1}{2}$OE，
∵BO=CE，
∴BO+OC=CE+OC，
即BC=OE，
∴OG=$\frac{1}{2}$OE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}×4=2$，
即OG不變．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．