Question

20．如圖，設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，黑、白兩個甲殼蟲同時從點A出發，以相同的速度分別沿棱向前爬行，黑甲殼蟲爬行的路線是AA₁→A₁D₁→…，白甲殼蟲爬行的路線是AB→BB₁→…，并且都遵循如下規則：所爬行的第n+2與第n條棱所在的直線必須是既不平行也不相交（其中n是正整數），那么當黑、白兩個甲殼蟲各爬行完第2013條棱分別停止在所到的正方體頂點處時，它們之間的距離是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據題意找到規律：黑、白甲殼蟲每爬行6條邊后又重復原來的路徑，可得當黑、白兩個甲殼蟲各爬行完第2009條棱分別停止時，黑甲殼蟲停在點C，白甲殼蟲停在點D₁，則求BA₁的長即可．

解答 解：∵黑甲殼蟲爬行的路徑為：AA₁→A₁D₁→D₁C₁→C₁C→CB→BA→AA₁→A₁D₁→…，
白甲殼蟲爬行的路徑為：AB→BB₁→B₁C₁→C₁D₁→D₁A₁→A₁A→AB→BB₁→…，
∴黑、白甲殼蟲每爬行6條邊后又重復原來的路徑，
∵2013=335×6+3，
∴當黑、白兩個甲殼蟲各爬行完第2013條棱分別停止時，黑甲殼蟲停在點C，白甲殼蟲停在點D₁，
∴CD₁=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 此題考查了立體圖形的有關知識．注意找到規律：黑、白甲殼蟲每爬行6條邊后又重復原來的路徑 是解此題的關鍵．