Question

8．如圖，矩形ABCD中，點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，線段EF與BH相交于點P，DF與GH相交于點Q．若四邊形HPFQ是矩形，則$\frac{AB}{BC}$的值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由矩形ABCD中，四邊形HPFQ是矩形，易證得△BEF∽△CFD，然后由相似三角形的對應邊成比例，可得$\frac{BE}{CF}=\frac{BF}{CD}$，又由點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，即可求得答案．

解答 解：∵四邊形HPFQ是矩形，
∴∠EFD=90°，
∴∠BFE+∠CFD=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=CD，
∴∠BFE+∠BEF=90°，
∴∠CFD=∠BEF，
∴△BEF∽△CFD，
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{BF}{CD}$，
∵點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，
∴$\frac{\frac{1}{2}AB}{\frac{1}{2}BC}=\frac{\frac{1}{2}BC}{AB}$，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質以及矩形的性質．注意證得△BEF∽△CFD是解此題的關鍵．