Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2BC，E為CD上一點，且AE=AB，M為AE的中點．下列結論：

①DM=DA；②EB平分∠AEC；③S_△ABE=S_△ADE；④BE²=2AE•EC．其中結論正確的個數是（　　）

A．1       B．2       C．3       D．4

Answer 1

C【考點】相似三角形的判定與性質；勾股定理；矩形的性質．

【分析】①由于DM是直角△ADE斜邊AE上的中線，欲證DM=DA，只需證明AD=AE即可；②在直角△ADE中，由于∠ADE=90°，AD=AE，得出∠DEA=30°，然后分別算出∠AEB與∠CEB的度數即可；③由于S_△ABE=S_矩形ABCD，S_△ADE＜S_矩形ABCD，從而進行判斷；④如果設BC=DA=a，則可用含a的代數式表示BC、AE、EC的長度，然后在直角△BCE中運用勾股定理算出BE²的值，再算出2AE•EC的值，比較即可．

【解答】解：①∵在直角△ADE中，∠ADE=90°，M為AE的中點，∴DM=AE，∵AE=AB，AB=2BC=2DA，∴DM=DA，正確；

②在直角△ADE中，∠ADE=90°，AD=AE，∴∠DEA=30°．∵CD∥AB，∴∠EAB=∠DEA=30°，∠CEB=∠ABE．在△EAB中，∠EAB=30°，AE=AB，∴∠AEB=∠ABE=75°，∴∠CEB=75°，∴EB平分∠AEC，正確；

③∵S_△ABE=S_矩形ABCD，S_△ADE＜S_△ADC=S_矩形ABCD，∴S_△ABE＞S_△ADE，錯誤；

④在矩形ABCD中，設BC=DA=a，則AE=AB=DC=2BC=2a，DE=AD=a，∴EC=（2﹣）a．在直角△BCE中，BE²=BC²+CE²=a²+[（2﹣）a]²=（8﹣4）a²，2AE•EC=2×2a×（2﹣）a=（8﹣4）a²，正確．

故選C．

【點評】本題主要考查了直角三角形、矩形的性質以及多邊形的面積，勾股定理．綜合性較強，有一定難度．