Question

12．如圖，一邊長為2的正方形ABCD的對角線AC所在的射線AQ上有一動點Q，射線OP⊥AQ．設CO=x，∠POQ與正方形公共部分的面積為S．
（1）求S與x之間的函數關系式；
（2）當OP平分AD邊時求出S的值．

Answer 1

分析 （1）根據正方形的性質得到∠DCA=45°，由∠POC=90°，即可得到結論；
（2）OP平分AD邊時，如圖，根據正方形的性質得到∠DAC=45°，推出△AOG是等腰直角三角形，解直角三角形得到AO=OG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可得到結論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DCA=45°，
∵∠POC=90°，
∴S=$\frac{1}{2}O{C}^{2}$=$\frac{1}{2}$x²；

（2）OP平分AD邊時，如圖，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAC=45°，
∴△AOG是等腰直角三角形，
∵AG=$\frac{1}{2}$AD=1，
∴AO=OG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了根據三角形的面積公式求函數關系式，正方形的性質，等腰直角三角形的性質，熟練掌握輔助線的性質是解題的關鍵．