Question

【題目】如圖①，矩形中，，，點是邊上的一動點（點與、點不重合），四邊形沿折疊得邊形，延長交于點．

圖① 圖②

（1）求證：；

（2）如圖②，若點恰好在的延長線上時，試求出的長度；

（3）當時，求證：是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）由矩形的性質和平行線的性質得出∠BAP=∠APN，由折疊的性質得：∠BAP=∠PAN，得出∠APN=∠PAN，即可得出NA=NP；

（2）由矩形的性質得出CD=AB=4，AD=BC=3，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，由折疊的性質得：AF=AB=4，EF=CB=3，∠F=∠B=90°，PE=PC，由勾股定理得出AE==5，求出DE=AE-AD=2，設DP=x，則PE=PC=4-x，在Rt△PDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

（3）過點D作GH∥AF，交EF于G，交AP于H，則GH∥AF∥PE，證出△PDH是等邊三角形，得出DH=PH，∠ADH=∠PHD-∠PAD=30°=∠PAD，證出DH=AH，得出AH=PH，由平行線分線段成比例定理得出，得出EG=FG，再由線段垂直平分線的性質得出DE=DF即可．

（1）證明；∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠BAP=∠APN，

由折疊的性質得：∠BAP=∠PAN，

∴∠APN=∠PAN，

∴NA=NP；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD=AB=4，AD=BC=3，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，

∴∠PDE=90°，

由折疊的性質得：AF=AB=4，EF=CB=3，∠F=∠B=90°，PE=PC，

∴AE==5，

∴DE=AE-AD=2，

設DP=x，則PE=PC=4-x，

在Rt△PDE中，由勾股定理得：DP2+DE2=PE2，

即x2+22=（4-x）2，

解得：，即；

（3）證明：過點D作GH∥AF，交EF于G，交AP于H，如圖所示：

則GH∥AF∥PE，

∴∠PHD=∠NAH，

∵∠PAD=30°，

∴∠APD=90°-30°=60°，∠BAP=90°-30°=60°，

∴∠PAN=∠BAP=60°，

∴∠PHD=60°=∠APD，

∴△PDH是等邊三角形，

∴DH=PH，∠ADH=∠PHD-∠PAD=30°=∠PAD，

∴DH=AH，

∴AH=PH，

∵GH∥AF∥PE，

∴，

∴EG=FG，

又∵GH⊥EF，

∴DE=DF，

∴△DEF是等腰三角形．