Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4．D是邊AB的中點，點E為邊AC上的一個動點（與點A、C不重合），過點E作EF∥AB，交邊BC于點F．聯結DE、DF，設CE=x．

（1）當x =1時，求△DEF的面積；

（2）如果點D關于EF的對稱點為D’，點D’ 恰好落在邊AC上時，求x的值；

（3）以點A為圓心，AE長為半徑的圓與以點F為圓心，EF長為半徑的圓相交，另一個交點H恰好落在線段DE上，求x的值．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

（1）過點作，由EF∥AB得EM為△DEF邊EF上的高，通過計算求出EF、EM即可求出△DEF面積；

（2）過點作，垂足為點，設與相交于點，根據對稱性知，，分別在Rt△AD D’和Rt△AEN中解直角三角形即可解得x值；

（3）與相交于點，在Rt△CEF中，用x表示出AF，利用EF∥AB得，用x表示出AG，再用兩圓相交的性質知AF⊥DE，進而證得即，代入數值即可得關于x的方程，解之即可解得x值．

解：（1）如圖1，過點作，垂足為點.

在中，，，，，.

，，.

在中，，，，.

，. 又，.

.

（2）如圖2，過點作，垂足為點，設與相交于點.

、關于對稱，，.

. ，.

在中，，，，.

.

，，，.

在中，，，，，

.

（3）如圖3，設與相交于點.

在中，，，，

，. .

，. ，，.

.

圓和圓相交，另一個交點H恰好在DE上，

. .

，，.

. .

解得（舍去），.