Question

15．已知：如圖，正方形OABC的邊長為4單位上，OA邊在x軸上，OC邊在y軸上，點D是x軸上一點，坐標為（1，0），點E為OC的中點，連接BD、BE、DE．
（1）點B的坐標為（4，4）．
（2）判斷△BDE的形狀，并證明你的結論；
（3）點M為x軸上一個動點，當∠MBD=45°時，請你直接寫出點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性質得到BC=BA，然后利用第一象限點的坐標特征寫出B點坐標；
（2）先利用勾股定理分別計算出DE、BE、BD，然后利用勾股定理的逆定理可證明△BDE為直角三角形；
（3）連結BO，根據正方形的性質得BO=$\sqrt{2}$OA=4$\sqrt{2}$，∠BOA=45°，分類討論：當點M在點D右側，如圖1，先證明△MBD∽△MOB，利用相似比可得到MB²=MO•MD=MA²+7MA+12，而由勾股定理得到MB²=AB²+AM²，所以MA²+7MA+12=AB²+AM²=4²+AM²，解方程得到AM=$\frac{4}{7}$，則此時M點坐標為（$\frac{32}{7}$，0）；當點M在點D左側，如圖2，證明△DOB∽△DBM，利用相似比可計算出DM，從而可確定此時M點的坐標．

解答 解：（1）∵正方形ABCO的邊長為4，
∴BC=BA=4，
∴B點坐標為（4，4）；
故答案為（4，4）；
（2）△BDE為直角三角形．理由如下：
∵D（1，0），點E為OC的中點，
∴OE=CE=2，OD=1，
∴AD=3，
∴DE²=OD²+OE²=1+4=5，BE²=CE²+BE²=4+16=20，DB²=AD²+AB²=9+16=25，
∵5+20=25，
∴DE²+BE²=DB²，
∴△BDE為直角三角形，∠BED=90°；
（3）連結BO，
∵正方形ABCO的邊長為4，
∴BO=$\sqrt{2}$OA=4$\sqrt{2}$，∠BOA=45°，
當點M在點D右側，如圖1，
∵∠MBD=∠BOM=45°，∠DMB=∠OBM，
∴△MBD∽△MOB，
∴MB：MO=MD：MB，即MB²=MO•MD，
∴MB²=（MA+4）（MA+3）=MA²+7MA+12，
而MB²=AB²+AM²，
∴MA²+7MA+12=AB²+AM²=4²+AM²，
∴AM=$\frac{4}{7}$，
∴OM=4+$\frac{4}{7}$=$\frac{32}{7}$，
∴M點坐標為（$\frac{32}{7}$，0）；
當點M在點D左側，如圖2，
∵∠MBD=∠BOD=45°，∠ODB=∠BDM，
∴△DOB∽△DBM，
∴OD：BD=BD：DM，
即1：5=5：DM，
∴DM=25，
∴MO=MD-OD=25-1=24，
∴M點坐標為（-24，0），
綜上所述，M點的坐標為（-24，0）或（$\frac{32}{7}$，0）．

點評 本題考查了一次函數的綜合題：熟練掌握一次函數圖象上點的坐標特征和正方形的性質；理解坐標與圖形性質，能利用兩點間的距離公式計算線段的長；會運用相似比進行幾何計算，同時注意分類討論思想的運用．