Question

【題目】四邊形的一條對角線將這個四邊形分成兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），那么我們將這條對角線叫做這個四邊形的相似對角線．

（1）如圖1，四邊形中，，，對角線平分，求證：是四邊形的相似對角線；

（2）如圖2，直線分別與，軸相交于，兩點，為反比例函數（）上的點，若是四邊形的相似對角線，求反比例函數的解析式；

（3）如圖3，是四邊形的相似對角線，點的坐標為，軸，，連接，的面積為．過，兩點的拋物線（）與軸交于，兩點，記，若直線與拋物線恰好有3個交點，求實數的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）或或；（3）或

【解析】

（1）設，則，然后根據角平分線的性質可求得∠BAC=∠DAC=50°，根據三角形的內角和定理可得，最后根據相似三角形的判定定理可證是四邊形的相似對角線；

（2）根據一次函數即可求出點A、B的坐標，再根據銳角三角函數值即可求出，，然后根據相似對角線的定義和相似三角形對應角的情況分類討論，分別利用銳角三角函數求出點P的坐標，即可求出反比例函數的解析式；

（3）根據銳角三角函數和面積公式可得，然后根據相似對角線的定義即可求出AC，從而求出兩個m的值和兩條直線的解析式和，根據圖形可知，一定與拋物線有兩個交點，故與拋物線有且僅有一個交點，然后聯立方程令一元二次方程的△=0即可求出a的值．

（1）證明：如圖1，設，則

∵，平分

∴∠BAC=∠DAC=

∴

在和中

∵，

∴∽

∴是四邊形的相似對角線．

（2）如圖2，可求得直線與兩坐標軸的交點分別為，

∴OA=4，OB=

在Rt△AOB中，

∴，

當是四邊形的相似對角線時，有如下情況：

①當∠APO=∠AOB=90°時，過點P作PQ⊥x軸于Q，如下圖所示，此時又分以下兩種情況

（i）當，

在Rt△OAP中，OP=OA·cos∠AOP=2

在Rt△OPQ中，OQ=OP·cos∠AOP=1，PQ= OP·sin∠AOP=

∴此時點，將點坐標代入，得

∴該反比例函數的解析式為；

（ii），

在Rt△OAP中，OP=OA·cos∠AOP=2

在Rt△OPQ中，OQ=OP·cos∠AOP=3，PQ= OP·sin∠AOP=

∴此時點，將點坐標代入，得

∴該反比例函數的解析式為；

②當∠OAP=∠AOB=90°時，此時又分以下兩種情況

（i）當∠AOP=∠OAB=30°時，如下圖所示，

∵OA=AO，∠OAP=∠AOB=90°

∴△OAP≌AOB，不符合相似對角線的定義，故舍去；

（ii）當時，如下圖所示，

在Rt△OAP中，AP=OA·tan∠AOP=

∴此時點，將點坐標代入，得

該反比例函數的解析式為；

③當∠AOP=∠AOB=90°時，此時點P在y軸上，故不存在反比例函數圖象，故舍去．

綜上所述：反比例函數的解析式為或或．

（3）如圖3，作的底邊邊上的高，則，

∴

在中，由勾股定理可求得，

∵，即

∴

∵是四邊形的相似對角線

若∽，由CA=CA可得≌，不符合相似對角線的定義，故舍去，

∴∽，

∴，

∴

∴，即

由點的坐標為可知，點的坐標為，

將，兩點的坐標代入拋物線，得

解得，，

所以拋物線的解析式可化為

由，得直線的解析為,，

∵直線與拋物線的交點必有兩個

∴直線與該拋物線的交點有且只有一個

∴方程組有且只有一組解

即關于的一元二次方程有兩個相等的實數根．

∴，

解得或