Question

【題目】老師布置了這樣一道作業題：

在△ABC中，AB＝AC≠BC，點D和點A在直線BC的同側，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，α＋β＝120°，連接AD，求∠ADB的度數．

小聰提供了研究這個問題的過程和思路：先從特殊問題開始研究，當α＝90°，β＝30°時（如圖1），利用軸對稱知識，以AB為對稱軸構造ΔABD的軸對稱圖形ΔABD′，連接CD′（如圖2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等邊三角形的相關知識便可解決這個問題．

圖1 圖2

（1）請結合小聰研究問題的過程和思路，求出這種特殊情況下∠ADB的度數；

（2）結合小聰研究特殊問題的啟發，請解決老師布置的這道作業題.

Answer 1

【答案】（1）30°（2）30°或150°

【解析】

（1）如圖2中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，連接CD′，AD′，由△ABD≌△ABD′，推出△D′BC是等邊三角形，再證明△AD′B≌△AD′C，得∠AD′B=∠AD′C，由此即可解決問題．
（2）第①種情況：當60°＜α≤120°時，如圖3中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，連接CD′，AD′，證明方法類似（1）．第②種情況：當0°＜α＜60°時，如圖4中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，連接CD′，AD′．證明方法類似（1）．

（1）如圖1作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，連接CD′，AD′，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=45°

∵∠DBC=30°，

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=15°，

∵AB=AB，∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，

∴△ABD≌△ABD′，

∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B，

∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°，

∵BD=BD′，BD=BC，

∴BD′=BC，

∴△D′BC是等邊三角形，

∴D′B=D′C，∠BD′C=60°，

∵AB=AC，AD'=AD'，

∴△AD′B≌△AD′C，

∴∠AD′B=∠AD′C，

∴∠AD′B=∠BD′C=30°，

∴∠ADB=30°.

（2）解：第①種情況：當60°＜α≤120°時，

如圖2，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，連接CD′，AD′，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，

∵∠BAC=α，

∴∠ABC=，

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=，

同（1）可證△ABD≌△ABD′，

∴∠ABD=∠ABD′=，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B

∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC==180°-（α+β），

∵α+β=120°，

∴∠D′BC=60°，

以下同（1）可求得∠ADB=30°，

第②種情況：當0°＜α＜60°時，

如圖3，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，連接CD′，AD′．

同理可得：∠ABC=，

∴∠ABD=∠DBC-∠ABC=β(90°)，

同（1）可證△ABD≌△ABD′，

∴∠ABD=∠ABD′=β(90°)，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B，

∴∠D′BC=∠ABC-∠ABD′=90°-[β(90°)]＝180°(α+β)，

∴D′B=D′C，∠BD′C=60°．

同（1）可證△AD′B≌△AD′C，

∴∠AD′B=∠AD′C，

∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°，

∴∠ADB=∠AD′B=150°