Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，點D在AB的延長線上，且BD=6，過點D作DE⊥AD交AC的延長線于點E，以DE為直徑的⊙O交AE于點F.

(1)求⊙O的半徑；

(2)設CD交⊙O于點Q，①試說明Q為CD的中點；②求BQ·BE的值．

Answer 1

【答案】（1）⊙O的半徑為6；(2) ①證明見解析；②BQBE=36.

【解析】

（1）根據勾股定理求出AC，證明△ACB∽△ADE，根據相似三角形的性質求出DE，即可得到⊙O的半徑；

（2）①連接EQ，根據等腰三角形的三線合一證明；

②連接BQ，根據等腰三角形的性質得到BQ⊥CD，得到B，Q，E三點共線，證明△BDQ∽△BED，根據相似三角形的性質計算即可．

（1）∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴AC==8．

∵∠ACB=90°，DE⊥AD，∴△ACB∽△ADE，∴==，即==，解得：DE=12，AE=20，則⊙O的半徑為6；

（2）①連接EQ．

∵AE=20，AC=8，∴EC=ED=12．

∵DE為⊙O直徑，∴∠EQD=90°，∴EQ⊥CD于Q，∴Q為CD中點；

②連接BQ．

∵BC=BD=6，Q為CD中點，∴BQ⊥CD，∴B，Q，E三點共線．

∵∠BDQ+∠EDQ=90°，∠B=∠B，∴△BDQ∽△BED，∴=，∴BQBE=BD2=36．