Question

1．如圖，在?ABCD中，E為邊BC的中點，F為線段AE上一點，聯結BF并延長交邊AD于點G，過點G作AE的平行線，交射線DC于點H．設$\frac{AD}{AB}$=$\frac{EF}{AF}$=x．
（1）當x=1時，求AG：AB的值；
（2）設$\frac{{S}_{△GDH}}{{S}_{△EBA}}$=y，求關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（3）當DH=3HC時，求x的值．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形ABCD，得到AD與BC平行且相等，由兩直線平行得到兩對內錯角相等，進而確定出三角形BEF與三角形AGF相似，由相似得比例，把x=1代入已知等式，結合比例式得到AG=BE，AD=AB，即可求出所求式子的值；
（2）設AB=1，根據已知等式表示出AD與BE，由AD與BC平行，得到比例式，表示出AG與DG，利用兩角相等的三角形相似得到三角形GDH與三角形ABE相似，利用相似三角形面積之比等于相似比的平方列出y與x的函數解析式，并求出x的范圍即可；
（3）分兩種情況考慮：①當點H在邊DC上時，如圖1所示；②當H在DC的延長線上時，如圖2所示，分別利用相似得比例列出關于x的方程，求出方程的解即可得到x的值．

解答 解：（1）在?ABCD中，AD=BC，AD∥BC，
∴∠BEF=∠GAF，∠EBF=∠AGF，
∴△BEF∽△GAF，
∴$\frac{BE}{AG}$=$\frac{EF}{AF}$，
∵x=1，即$\frac{AD}{AB}$=$\frac{EF}{AF}$=1，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{BE}{AG}$=1，
∴AD=AB，AG=BE，
∵E為BC的中點，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC，
∴AG=$\frac{1}{2}$AB，
則AG：AB=$\frac{1}{2}$；
（2）∵$\frac{AD}{AB}$=$\frac{EF}{AF}$=x，
∴不妨設AB=1，則AD=x，BE=$\frac{1}{2}$x，
∵AD∥BC，
∴$\frac{BE}{AG}$=$\frac{EF}{AF}$=x，
∴AG=$\frac{1}{2}$，DG=x-$\frac{1}{2}$，
∵GH∥AE，
∴∠DGH=∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠DGH=∠AEB，
在?ABCD中，∠D=∠ABE，
∴△GDH∽△EBA，
∴$\frac{{S}_{△GDH}}{{S}_{△EBA}}$=（$\frac{DG}{BE}$）²，
∴y=（$\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}x}$）²=$\frac{4{x}^{2}-4x+1}{{x}^{2}}$（x＞$\frac{1}{2}$）；
（3）分兩種情況考慮：
①當點H在邊DC上時，如圖1所示：

∵DH=3HC，
∴$\frac{DH}{DC}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{DH}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
∵△GDH∽△EBA，
∴$\frac{DG}{BE}$=$\frac{DH}{AB}$=$\frac{3}{4}$，即$\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}x}$=$\frac{3}{4}$，
解得：x=$\frac{4}{5}$；
②當H在DC的延長線上時，如圖2所示：

∵DH=3HC，
∴$\frac{DH}{DC}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{DH}{AB}$=$\frac{3}{2}$，
∵△GDH∽△EBA，
∴$\frac{DG}{BE}$=$\frac{DH}{AB}$=$\frac{3}{2}$，即$\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}x}$=$\frac{3}{2}$，
解得：x=2，
綜上所述，可知x的值為$\frac{4}{5}$或2．

點評 此題屬于相似型綜合題，涉及的知識有：平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，以及平行線的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．