Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，,,,對角線BD平分交AC于點P.CE是的角平分線,交BD于點O.

（1）請求出的度數;

（2）試用等式表示線段BE、BC、CP之間的數量關系，并說明理由;

Answer 1

【答案】（1）；（2）BE+CP=BC，理由見解析．

【解析】

（1）先證得為等邊三角形，再利用平行線的性質可求得結論；

（2）由BP、CE是△ABC的兩條角平分線，結合BE=BM，依據“SAS”即可證得△BEO≌△BMO；利用三角形內角和求出∠BOC=120°，利用角平分線得出∠BOE=∠BOM=60，求出∠BOM，即可判斷出∠COM=∠COP，即可判斷出△OCM≌△OCP，即可得出結論；

（1）∵，，

∴為等邊三角形，

∴∠ACD=，

∵，

∴∠BAC=∠ACD=；

（2）BE+CP=BC，理由如下：

在BC上取一點M，使BM=BE，連接OM，如圖所示：

∵BP、CE是△ABC的兩條角平分線，

∴∠OBE=∠OBM=∠ABC，

在△BEO和△BMO中，，

∴△BEO△BMO(SAS)，

∴∠BOE=∠BOM=60，

∵BP、CE是△ABC的兩條角平分線，
∴∠OBC+∠OCB=

在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180，
∵∠BAC =60，
∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=180-60=120，
∴∠BOC=180-(∠OBC+∠OCB)=180=180-×120=120，

∴∠BOE=60，

∴∠COP=∠BOE=60
∵△BEO≌△BMO，
∴∠BOE=∠BOM=60，
∴∠COM=∠BOC-∠BOM=120-60=60，
∴∠COM=∠COP=60，
∵CE是∠ACB的平分線，
∴∠OCM=∠OCP，
在△OCM和△OCP中，

∴△OCM≌△OCP（ASA），
∴CM=CP，
∴BC=CM+BM=CP+BE，
∴BE+CP=BC．