Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系中，是直角三角形，，點、的橫坐標是一元二次方程的兩根（），直線與軸交于，點的坐標為．

（1）求直線的函數表達式；

（2）在軸上找一點，連接，使得以點、、為頂點的三角形與相似（不包括全等），并求點的坐標；

（3）在（2）的條件下，點、分別是和上的動點，連接，點、分別從、同時出發，以每秒1個單位長度的速度運動，當點到達點時，兩點停止運動，設運動時間為秒，請直接寫出幾秒時以點、、為頂點的三角形與相似．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【解析】

（1）解方程得到點A、C的坐標，根據點D的坐標設直線解析式為，

將點A坐標代入即可得到直線AB的解析式；

（2）過作交軸于，求出點B的坐標，根據得到對應線段成比例，由此求出AE，即可得到點E的坐標；

（3）由題意得到，，分兩種情況：，，列比例式即可求出答案.

解：（1）,

(x+3)(x-1)=0，

∴,,

∵點、的橫坐標是一元二次方程的兩根，

∴點、的橫坐標分別為-3，1，即點，點，

設直線解析式為，且過點，

∴，

∴，

∴直線解析式：；

（2）如圖：過作交軸于，

當時，則，∴點

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴點；

（3）由題意可得：，如圖：

若，

∴，

∴，

∴；

如圖：若，

∴，

∴，

∴，

綜上所述：或時以點、、為頂點的三角形與相似．