Question

16．已知：如圖，△ABC中的頂點A、C分別在平面直角坐標系的x軸、y軸上，且∠ACB=90°，AC=2，BC=1，當點A從原點出發朝x軸的正方向運動，點C也隨之在y軸上運動，當點C運動到原點時點A停止運動，連結OB．
（1）點A在原點時，求OB的長；
（2）當OA=OC時，求OB的長；
（3）在整個運動過程中，OB是否存在最大值？若存在，請你求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據題意AB的長就是OB的長，根據勾股定理求得AB的長即可；
（2）作BD⊥y軸于D，根據勾股定理可得OC=$\sqrt{2}$，DC=DB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，最后根據勾股定理即可求得OB；
（3）Rt△AOC的外接圓圓心是AC中點，設AC中點為D，根據三角形三邊關系有OB≤OD+BD=1+$\sqrt{2}$，即O、D、B三點共線時OB取得最大值．

解答 解：（1）點A在原點時，OB=AB，
∵∠ACB=90°，AC=2，BC=1，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
∴OB=$\sqrt{5}$；
（2）當OA=OC時，如圖1，作BD⊥y軸于D，
∵AC=2，BC=1，
∵OA²+OC²=AC²，
∴OA=OC=$\sqrt{2}$，
∵OA=OC，
∴∠ACO=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=45°，
∴∠BCD=∠CBD，
∴DB=DC，
∵DC²+DB²=BC²，
∴DB=DC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OD=OC+DC=$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴OB=$\sqrt{O{D}^{2}+D{B}^{2}}$=$\sqrt{（{\frac{3\sqrt{2}}{2}）}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{5}$；
（3）如圖2，作AC的中點D，連接OD、BD，
∵OB≤OD+BD，
∴當O、D、B三點共線時OB取得最大值，
∵BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，OD=AD=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴點B到原點O的最大距離為1+$\sqrt{2}$．

點評 此題主要考查了兩點間的距離，以及勾股定理的應用，本題的難度較大，理解D到O的距離不變是解決本題的關鍵．