Question

【題目】已知二次函數y＝－(a＋b)x2－2cx＋a－b，a、b、c是△ABC的三邊

(1) 當拋物線與x軸只有一個交點時，判斷△ABC是什么形狀

(2) 當時，該函數有最大值，判斷△ABC是什么形狀

Answer 1

【答案】(1) △ABC是以b為斜邊的直角三角形;(2)等邊三角形.

【解析】

（1）由題意得出△＝0，得出c2＋a2＝b2，由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形即可；

（2）由x＝時函數有最大值，可知頂點的橫坐標為，縱坐標為，根據頂點坐標公式列方程求解即可．

解：(1) 令y＝0，即－(a＋b)x2－2cx＋a－b＝0，

∵拋物線與x軸只有一個交點，

∴△＝4c2－4[－(a＋b)(a－b)]＝0，

化簡得：a2＋c2=b2，

∴△ABC是以b為斜邊的直角三角形；

(2) 依題意得：x＝，

∴，

又，

∴a2＋2c2－2b2－ab＝0，

將代入a2＋2c2－2b2－ab＝0中，得a2＝b2，

∵a＞0，b＞0，

∴a＝b＝c，

∴△ABC為等邊三角形.