Question

17．如圖，在△BAD中，∠BAD=90°，延長斜邊BD到點C，使DC=$\frac{1}{2}BD$，連接AC，若tanB=$\frac{5}{3}$，則tan∠CAD的值$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 延長AD，過點C作CE⊥AD，垂足為E，設AD=5x，則AB=3x，再證出△CDE∽△BDA，得出$\frac{CE}{AB}$=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，設CE=$\frac{3}{2}$x，DE=$\frac{5}{2}$x，求出AE=$\frac{15}{2}$x，最后根據tan∠CAD=$\frac{EC}{AE}$代入計算即可．

解答 解：如圖，延長AD，過點C作CE⊥AD，垂足為E，
∵tanB=$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{5}{3}$，
∴設AD=5x，則AB=3x，
∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，
∴△CDE∽△BDA，
∴$\frac{CE}{AB}$=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴CE=$\frac{3}{2}$x，DE=$\frac{5}{2}$x，
∴AE=$\frac{15}{2}$x，
∴tan∠CAD=$\frac{EC}{AE}$=$\frac{1}{5}$，
故答案為：$\frac{1}{5}$．

點評 本題考查了銳角三角函數的定義，相似三角形的判定和性質以及直角三角形的性質，是基礎知識要熟練掌握，解題的關鍵是：正確添加輔助線，將∠CAD放在直角三角形中．