Question

【題目】在平面直角坐標系中，設二次函數，其中．

(1)若函數的圖象經過點，求函數的表達式；

(2)若一次函數的圖象與函數的圖象經過軸上同一點，探究實數滿足的關系式；若隨的變化能取得最大值，證明：當取得最大值時，拋物線與軸只有一個交點；

(3)已知點和在函數的圖象上，若，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）若，則

【解析】

（1）根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）根據函數圖象上的點滿足函數解析式，可得答案；

（3）根據二次函數的性質，可得答案．

解：(1)把點代入中，

解得

①當時，；

②當時，

．綜合①②得

(2) 與軸交點為，

與軸交點為，

①當時，此時，

②當時，此時，

若隨的變化能取得最大值時，此時且當時，取得最大值，

此時

令，解得，所以此時函數與軸只有一個交點

(3) 的對稱軸為

與對應函數值相等，

又開口向上，

∴若，則

【點晴】

本題是二次函數的綜合問題，主要考查了二次函數圖象上點的坐標特征，解（1）的關鍵是利用待定系數法；解（2）的關鍵是把點的坐標代入函數解析式；解（3）的關鍵是利用二次函數的性質，要分類討論，以防遺漏．