Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2 ．D為BC邊一點，且BD：DC＝1：2．以D為一個點作等邊△DEF，且DE＝DC連接AE，將等邊△DEF繞點D旋轉一周，在整個旋轉過程中，當AE取得最大值時AF的長為_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

點E，F在以D為圓心，DC為半徑的圓上，當A，D，E在同一直線上時AE取最大值，過點A作AH⊥BC交BC于H，通過解直角三角形求出DH，BH，CH的長度，∠ADH的度數，證明四邊形DEFC是菱形，△ACF為直角三角形，通過勾股定理可求出AF的長度．

解：如圖，點E，F在以D為圓心，DC為半徑的圓上，當A，D，E在同一直線上時AE取最大值，

過點A作AH⊥BC交BC于H，

∴∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，

∴∠B＝∠ACB＝30°，BH＝CH，

∴在Rt△ABH中，

AH＝AB＝，BH＝AH＝3，

∴BC＝2BH＝6，

∵BD：DC＝1：2，

∴BD＝2，CD＝4，

∴DH＝BH﹣BD＝1，

在Rt△ADH中，AH＝，DH＝1，

∴tan∠DAH＝，

∴∠DAH＝30°，∠ADH＝60°，

∵△DEF是等邊三角形，

∴∠E＝60°，DE＝EF＝DC，

∵∠ADC＝∠E＝60°，

∴DC∥EF，

∵DC＝EF，

∴四邊形DEFC為平行四邊形，

又∵DE＝DC，

∴平行四邊形DEFC為菱形，

∴FC＝DC＝4，∠DCF＝∠E＝60°，

∴∠ACF＝ACB+∠DCF＝90°，

在Rt△ACF中，,

故答案為：．