Question

【題目】如果一個自然數可以表示為兩個連續奇數的立方差，那么我們就稱這個自然數為“麻辣數”．如：所以2，26均為“麻辣數”．注：立方差公式

(1)請判斷98和169是否為“麻辣數”，并說明理由；

(2)請求出在不超過2016的自然數中，所有的“麻辣數”之和為多少？寫出完整的求解過程．

Answer 1

【答案】（1）98是麻辣數；169不是麻辣數；理由見解析；（2）6860．

【解析】

（1）根據相鄰兩個奇數的立方差，可得答案；

（2）根據相鄰兩個奇數的立方差，麻辣數的定義，可得答案．

設k為整數，則2k+1、2k-1為兩個連續奇數，

設M為“麻辣數”，

則M=（2k+1）3-（2k-1）3

=[(2k+1)-(2k-1)][(2k+1)2+(2k+1)(2k-1)+(2k-1)2]

=24k2+2；

（1）98是麻辣數，169不是麻辣數，理由如下：

當M=98時，24k2+2=98，

因為k為自然數，所以k=2，

此時2k+1=5，2k-1=3，

即98=53-33，

故98是麻辣數；

當M=169時，即24k2+2=169，

因為24k2+2是偶數，而169是奇數，所以k的值不是整數，

故169不是麻辣數；

（2）令M≤2016，則24k2+2≤2016，

解得k2≤＜84，

故k2=0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，

故M的和為24×（0+1+4+9+16+25+36+49+64+81）+2×10=6860．