Question

【題目】如圖在平面直角坐標系中拋物線經過A（2，0），B（0，4）兩點，將△OAB繞點O逆時針旋轉90°得到△OCD，點D在拋物線上．

（1）求該拋物線的表達式；

（2）已知點M在y軸上（點M不與點B重合），連接AM，若△AOM與△AOB相似，試求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=-（x-2）（x+4）或y=-x2-x+4；（2）（0，-4）或（0，1）或（0，-1）．

【解析】

(1)根據旋轉的性質得到點D的坐標，然后利用待定系數法確定函數解析式；

(2)由于△AOM與△AOB相似且∠AOB=∠AOM=90°．所以應該分兩種情況：①若=，即=；②=，即=，通過比例式求得符合條件的m的值即可．

(1)由旋轉的性質可得：OD=OB=4，則D(-4，0)．

由拋物線經過點A(2，0)，D(-4，0)．可設y=a(x-2)(x+4)(a≠0)．

把B(0，4)代入，得4=a(0-2)(0+4)．

解得a=-．

故該拋物線解析式為y=-(x-2)(x+4)或y=-x2-x+4．

(2)由題意知，OA=2，OB=4，

設M(0，m)，如圖所示，

∵△AOM與△AOB相似且∠AOB=∠AOM=90°，

∴分兩種情況．

①若=，即=，

解得m=±4，

∵點M不與點B重合，

∴m=-4符合題意，此時M1(0，-4)；

②=，即=，

解得m=±1，

此時M2(0，1)，M2(0，-1)，

綜上所述，符合條件的點M的坐標是：(0，-4)或(0，1)或(0，-1)．