Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點是原點，矩形的頂點在軸的正半軸上，頂點在軸的正半軸上，頂點的坐標為，拋物線經過，兩點，與軸的另一個交點為點．

（1）如圖1，求拋物線的函數表達式；

（2）如圖2，連接，，將沿折疊后與、軸分別交于點，，求的長度；

（3）如圖3，將拋物線在上方的部分沿折疊后與軸交于點，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）根據矩形性質分析出，，然后用待定系數法求函數解析式；（2）由折疊的性質可得，然后結合全等三角形的性質，平行線的性質及等腰三角形的判定得到．設，則，利用勾股定理列方程求解；（3）在AC上方的拋物線圖象取點F的對稱點F′，過點F′作y軸的平行線交直線AC于點G．先證F′A=F′G．繼而得直線AC的解析式為y=-2x+4．設點F（n，-2n2+2n+4），則G（n，-2n+4）．根據F′A2=F′G2求出n的值，從而得出FG＝，F′A=F′G=FA=，從而得出點F的坐標．

解：（1）四邊形是矩形，，

，，

拋物線經過，兩點，

拋物線的函數表達式為．

（2）由題意得：，

．

，

，

，

．

設，則．

在中，

解得，

．

（3）如圖，在上方的拋物線上取點的對稱點，過點作軸的平行線交直線于點．

由題意得：，．

，

，

，

．

易得直線的解析式為：．

設點，則

，．

，

，

即：，

化簡得：，即，

解得(不合題意，舍去)或，

，

，