Question

【題目】已知，如圖，AB是的直徑，C是上一點，連接AC，過點C作直線于D（），點E是DB上任意一點（點D、B除外），直線CE交于點F.連接AF與直線CD交于點G.

（1）求證：

（2）若點E是AD（點A除外）上任意一點，上述結論是否仍然成立？若成立，請畫出圖形并給予證明；若不成立，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）成立，證明見解析.

【解析】

（1）欲證AC2=AGAF，即證AC：AG=AF：AC，可以通過證明△AGC∽△ACF得到；

（2）分清E點在AD上有兩種情況，然后逐一證明．

（1）證明：連接CB，

∵AB是直徑，CD⊥AB，

∴∠ACB=∠ADC=90°，又∠CAD=∠BAC，

∴△CAD∽△BAC，

∴∠ACD=∠ABC，

∵∠ABC=∠AFC，

∴∠ACD=∠AFC，∠CAG=∠FAC，

∴△ACG∽△AFC，

∴，

∴AC2=AGAF；

（2）當點E是AD（點A除外）上任意一點，上述結論仍成立

①當點E與點D重合時，F與G重合，如圖所示：

有AG=AF，∵CD⊥AB，

∴ ，AC=AF，

∴AC2=AGAF；

②當點E與點D不重合時（不含點A）時，如圖所示：

證明類似（1）．