Question

【題目】 如果一個正整數能表示為兩個連續奇數的平方差，那么我們稱這個正整數為“和諧數”，如8=32-12，16=52-32，24=72-52，因此，8，16，24這三個數都是“和諧數”．

（1）在32，75，80這三個數中，是和諧數的是______；

（2）若200為和諧數，即200可以寫成兩個連續奇數的平方差，則這兩個連續奇數的和為______；

（3）小鑫通過觀察發現以上求出的“和諧數”均為8的倍數，設兩個連續奇數為2n-1和2n+1（其中n取正整數），請你通過運算驗證“和諧數是8的倍數”這個結論是否正確．

Answer 1

【答案】（1）32，80；（2）100；（3）“和諧數是8的倍數”這個結論是正確的，證明詳見解析

【解析】

（1）根據“和諧數”的定義，設出一般的情況，看和諧數應滿足什么條件，以此條件判斷32，75，80這三個數中，哪些數是和諧數；

（2）用字母表示兩個連續奇數與和諧數，由和諧數是200，列出方程，解出即得到這兩個連續的奇數，從而可以求得這兩個連續奇數的和；

（3）用字母表示兩個連續奇數與和諧數，通過化簡，可以證明結論成立．

解：（1）由“和諧數”的定義，設這兩個連續的奇數分別為，，

則和諧數可表示為：，（其中表示正整數）

∴“和諧數”就是8的正整數倍，

∴32，80是和諧數，75不是和諧數，且32=92-72，80=212-192，

故答案為：32；80.

（2）∵200，即200，

∴，

∴，，

∵49+51=100，

∴這兩個連續奇數的和為100，

故答案為：100.

（3）證明：∵,

∴“和諧數是8的倍數”這個結論是正確的．