Question

【題目】在中，點在邊上（不與點重合），，垂足為點，如果以為對角線的正方形上的所有點都在的內部或邊上，則稱該正方形為的內正方形．

（1）如圖，在中，，，點是的中點，畫出的內正方形，直接寫出此時內正方形的面積；

（2）在平面直角坐標系中，點，，．

①若，求的內正方形的頂點的橫坐標的取值范圍；

②若對于任意的點，的內正方形總是存在，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）畫圖見解析；的內正方形的面積為；（2）①；②或．

【解析】

（1）根據要求作出正方形DGEH即可，求出DE，根據正方形的面積等于對角線乘積的一半計算即可．

（2）①如圖2中，設E（m，0）．用m表示出點G的坐標，求出直線AC的解析式，當點G落在AC上時，利用待定系數法求出m即可解決問題．

②觀察圖2可知，當t＝4或4時，點G落在AC上，由此可以得出結論．

解：（1）如圖．

∵，，點是的中點，

∴．另一條對角線的長也=1,

∴的內正方形的面積=對角線的乘積=．

（2）①根據題意，，．

設正方形的對角線，交于點，可知點總在邊上，當在邊上時，點的橫坐標取得最大值，作于點．

可知，，，，

∴．

∴．

∴．

②或．

由圖形可知,當t=4時,點F落在AC上,

故t≥4時,△ABC的內正方形總是存在的,

根據對稱性,t≤-4時,也滿足條件,