Question

【題目】在平面直角坐標系中,拋物線C1:y=x+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點,A點在原點的左側,B點的坐標為(3.0)，與y軸交于C（0，-3）

（1）求拋物線C1的表達式；

（2）分別寫出拋物線C1關于B點，關于A點的對稱拋物線C2， C3的函數表達式

（3）設C1的頂點為D，C2與x軸的另一個交點為A1頂點為D1，C3與x軸的另一個交點為B1，頂點為D2，在以A、B、D、A1、B1、D1、D2這七個點中的四個點為頂點的四邊形中，求面積最大的四邊形的面積。

Answer 1

【答案】（1）拋物線C1的表達式為：y=x-2x-3；（2）拋物線C2表達式為：y2=-x2+10x-21；拋物線C3表達式為：y3= -x2-6x-5；（3）48.

【解析】

（1）將點B(3，0)，C（0，-3）代入y=x+bx+c求出b，c即可得到拋物線C1的表達式；

（2）求出A點坐標，可得AB=4，根據關于點成中心對稱的圖形的性質，可求出拋物線C2， C3的函數表達式；

（3）求出A、B、D、A1、B1、D1、D2這七個點的坐標，根據圖形，計算幾個面積較大的四邊的面積，比較即可得到面積最大的四邊形的面積.

解：（1）將點B(3，0)，C（0，-3）代入y=x+bx+c可得：，

解得：，

∴拋物線C1的表達式為：y=x-2x-3；

（2）令y=x-2x-3=0，解得：x1=3，x2=-1，

∴A（-1，0），

∴AB=4，

∴拋物線C2過點（3，0）和點（7，0）

設拋物線C2解析式為：y2=a(x-3)(x-7)，

∵拋物線C2與拋物線C1關于B點對稱，

∴a=-1，即拋物線C2解析式為：y2=-(x-3)(x-7)=-x2+10x-21，

同理可得：拋物線C3解析式為：y3=-(x+5)(x+1)= -x2-6x-5；

（3）如圖，由題意得：A（-1，0），B（3，0），A1（7，0），B1（-5，0），

∵拋物線C1：y=x-2x-3=(x-1)2-4，

∴D（1，-4），

同理：D1（5，4），D2（-3，4），

∴S梯形B1 D2 D1 A1=，

S四邊形B1D2DD1 = S四邊形A1D1D2D =S平行四邊形B1D2D1B+S△B1DB=，

S四邊形B1DA1D1 = S四邊形A1DB1D2 =S△B1DA1+ S△B1A1D1=，

（注：面積明顯較小的四邊形面積不予計算）

綜上所述，面積最大的四邊形的面積是48.