Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC="3" ，tan∠BAC=，將∠ABC對折，使點C的對應點H恰好落在直線AB上，折痕交AC于點O，以點O為坐標原點，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標系

（1）求過A、B、O三點的拋物線解析式；

（2）若在線段AB上有一動點P，過P點作x軸的垂線，交拋物線于M，設PM的長度等于d，試探究d有無最大值，如果有，請求出最大值，如果沒有，請說明理由．

（3）若在拋物線上有一點E，在對稱軸上有一點F，且以O、A、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，試求出點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）當t=時，d有最大值，最大值為2；（3）在拋物線上存在三個點：E1（，-），E2（，），E3（-，），使以O、A、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形．

【解析】

（1）在Rt△ABC 中，根據∠BAC的正切函數可求得AC=4，再根據勾股定理求得AB，設OC=m，連接OH由對稱性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，即得AH=AB-BH=2，OA=4-m．在Rt△AOH 中，根據勾股定理可求得m的值，即可得到點O、A、B的坐標，根據拋物線的對稱性可設過A、B、O三點的拋物線的解析式為：y=ax（x-），再把B點坐標代入即可求得結果；

（2）設直線AB的解析式為y=kx+b，根據待定系數法求得直線AB的解析式，設動點P（t，），則M（t，），先表示出d關于t的函數關系式，再根據二次函數的性質即可求得結果；

（3）設拋物線y=的頂點為D，先求得拋物線的對稱軸，與拋物線的頂點坐標，根據拋物線的對稱性，A、O兩點關于對稱軸對稱．分AO為平行四邊形的對角線時，AO為平行四邊形的邊時，根據平行四邊形的性質求解即可.

（1）在Rt△ABC 中，

∵BC=3 ，tan∠BAC=，

∴AC=4．

∴AB=．

設OC=m，連接OH

由對稱性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，

∴AH=AB-BH=2，OA=4-m．

∴在Rt△AOH 中， OH2+AH2=OA2，即m2+22=(4-m)2，得 m=．

∴OC=，OA=AC－OC=，

∴O（0，0） A（，0），B（-，3）．

設過A、B、O三點的拋物線的解析式為：y=ax（x-）．

把x=，y=3代入解析式，得a=．

∴y=x（x-）=．

即過A、B、O三點的拋物線的解析式為y=．

（2）設直線AB的解析式為y=kx+b，根據題意得

，解之得，．

∴直線AB的解析式為y=．

設動點P（t，），則M（t，）．

∴d=（）—（）=—=

∴當t=時，d有最大值，最大值為2．

（3）設拋物線y=的頂點為D．

∵y== ，

∴拋物線的對稱軸x=，頂點D（，-）．

根據拋物線的對稱性，A、O兩點關于對稱軸對稱．

當AO為平行四邊形的對角線時，拋物線的頂點D以及點D關于x軸對稱的點F與A、O四點為頂點的四邊形一定是平行四邊形．這時點D即為點E，所以E點坐標為（）．

當AO為平行四邊形的邊時，由OA=，知拋物線存在點E的橫坐標為或，即或，

分別把x=和x=代入二次函數解析式y=中，得點E（，）或E（-，）．

所以在拋物線上存在三個點：E1（，-），E2（，），E3（-，），使以O、A、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形．