Question

3．如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/s的速度移動，點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動，如果P、Q同時出發，用t表示移動的時間（0≤t≤6），那么：
（1）當t為何值時，△QAP是等腰直角三角形？
（2）求四邊形QAPC的面積；
（3）當t為何值時，△PCQ的面積是31cm²？

Answer 1

分析 （1）根據題意得到AP=2t，DQ=t，根據等腰直角三角形的性質列出方程，解方程即可；
（2）根據四邊形QAPC的面積=四邊形ABCD的面積-△CDQ的面積-△PBC的面積計算；
（3）用t表示出△PCQ的面積，根據題意列出一元二次方程，解方程即可．

解答 解：（1）由題意得，AP=2t，DQ=t，
則PB=12-2t，AQ=6-t，
△QAP是等腰直角三角形，
則AQ=AP，即6-t=2t，
解得，t=2，
答：當t=2時，△QAP是等腰直角三角形；
（2）四邊形QAPC的面積=四邊形ABCD的面積-△CDQ的面積-△PBC的面積
=12×6-$\frac{1}{2}$×12×t-$\frac{1}{2}$×6×（12-2t）
=36；
（3）△PCQ的面積=四邊形QAPC的面積-△QAP的面積
=36-$\frac{1}{2}$×2t×（6-t）
=36-6t+t²，
當△PCQ的面積是31cm²時，36-6t+t²=31，
解得，t₁=1，t₂=5，
則當t=1或5時，△PCQ的面積是31cm²．

點評 本題考查的是矩形的性質、等腰直角三角形的性質以及一元二次方程的解法，根據題意正確表示出線段AP、DQ的長度、靈活運用相關的性質定理列出關系式是解題的關鍵．